Praktiske problemer der differensiallikninger er løsningen

UNDER KONSTRUKSJON

Svingninger

Frie svingninge uten dempning

En kloss ligger på et friksjonsfritt underlag. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er <tex>x_0</tex>. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).

Nevtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på klossen er lik masse multiplisert med akslerasjon.

<tex>\sum F = ma</tex>

Hooks lov sier at:

F = -kx

k er fjærkonstanten. Kraften er proporsjonal med utslaget og virker hele tiden mot likevektspunktet.

Vi får:

<tex>m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx </tex> som gir <tex>\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}{x} = 0</tex> Ved å innføre <tex>\omega =\sqrt{\frac{k}{m}</tex> får vi <tex>\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0</tex>

som er identisk med

<tex>x^{,,} + \omega^2x = 0</tex>

Her finner du hvordan disse likningene løses:

[[1]]

Eksempel 1:

En kloss med masse 0,75 kg. ligger på en friksjonsfri overflate og er festet til en forankret fjær. Fjæren strekkes 1,5 meter med en kraft på 200 Newton.

Klossen trekkes ut 0,6 meter mot høyre, fra likevektspunktet, der den slippes. Beskriv bevegelsen.

Frie svingninge med dempning

En kloss ligger på et underlag med friksjon. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er <tex>x_0</tex>. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).

Man antar at friksjonen R er proposjonal med farten v og virker mot bevegelsen. v er x' og R = rx'

<tex>m\frac{d^2x}{dt^2} = -rv - kx \Leftrightarrow m\frac{d^2x}{dt^2}+ r \frac{dx}{dt} + kx =0</tex>

mx + rx' + kx = 0 eller

<tex> x^{}+ \frac rm x^' + \frac km =0 </tex>

Naturlig vekst

Dersom en størrelse x vokser med tiden, kan det skrives som

<tex>\frac{dx}{dt} = kx </tex>

der k er en konstant og x = x(t).

Man får

<tex>\frac{dx}{x} = kdt \\ \int{\frac{dx}{x}} = \int{kdt} \\ ln|x| = kt +C \\ x=e^{kt}e^C = Ae^{kt}</tex>

A er kontstanten e^C og man observerer at vet tiden t = 0 er A = x, dvs. A =x₀

Altså:

<tex>x= x_0e^{kt}</tex>

Dersom k > 0 har man en vekstsituasjon.

Dersom k < 0 har man en situasjon der en størrelse avtar, foreksempel aktiviteten i et radioaktivt materiale:

<tex>\frac{dN}{dt} = -kN</tex>

<tex>N(t) = e^{-kt}</tex>

k er isotipavhengig ( dersom modellen representerer aktivitet i radioaktivt materiale).

Derso man har en populasjon kan modelle over være egnet til å beskrive veksten i startfasen, men ingen populasjoner vokser i det uendelige. En mer egnet modell kan da være denlogistiske.

Logistisk vekst

Man tenker at populasjonsveksten vil stagnere når antall individer nærmer seg det et et område kan tåle. Det antall kalles bæreevneen og vil variere ut fra økosystemetes forutsettninger. Man kaller bæreevnen for B

Newtons avkjølingslov ( og oppvarming)

Hvordan går det egentlig med et legeme med romtemperatur, når den slippes i kokende vann?

Den mometane temperaturendringen er

T(t) - er objektets temperatur ved tiden t.

T_omg - er omgivelsenes temperatur, altså objektets omgivelser, i dette tilfellet 100 grader.

T(0) - er objektets temperatur i det den blir sluppet i vannet, ved tiden t = 0.

Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen <tex>\frac{dT}{dt} </tex>

er proporsjonal med differeansen mellom T(t) og T_omg, dvs:

<tex>\frac{dT}{dt} = k(T(t) - T_{omg})</tex>

Her har man to muligheter:

Dersom objektet er varmere enn omgivelsene ved tiden t = 0 har man en avkjølingssituasjon. Da er

<tex>\frac{dT}{dt} </tex> negativ. Det gir: <tex>

(T(t) - T_{omg}) > 0</tex>

Dersom <tex>\frac{dT}{dt} </tex> er positiv har man en oppvarmingssituasjon: Da er

<tex>T(t) - T_{omg} < 0 </tex>

Det gir Newtons lov for avkjøling:

<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg})</tex>

Eks 8:

En smed skal bearbeide et stykke metall. Når det tas ut av ovnen er det 500°C. Metallet lar seg bearbeide til det er 150°C. Under denne temperatur er det vanskelig å forme. Smeden har fra tidligere erfaringer funnet ut at metallet avkjøles med 100 grader de første 15 minuttene. I rommet der arbeidet foregår er det 23°C.

Hvor lang tid har smeden på bearbeidingsprosessen?

Løsning:

Newtons lov for avkjøling sier:

<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg}</tex>

I dette tilfellet gir det:

<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - 23) \\ \frac{dT}{dt} = k(23 - T(t))\\ \int \frac {1}{23 - T(t)})dT = \int(k)dt \\ - ln (23 - T(t)) = kt + C \\ 23 - T(t) = e^{-(kt + C)} </tex> <tex>23 - T(t) = C_2e^{-kt } \hspace{50 mm} der \hspace{5 mm}C_2 \hspace{5 mm}er\hspace{5 mm} e^C \\

T(t) = 23 - C_2e^{-kt } \hspace{50 mm} </tex>

Man har oppgitt:

T(0) = 800C

23 - 500 = C_2

C_2 = -477

T(t) = 477 e^{-kt}

Hva er k?

k er en konstant som bestemmes av objektets form og materialegenskaper,

samt omgivelsenes tetthet / varmelednigsegenskaper mm.

For å finne k må man benytte seg av smedens erfaringer og kunnskaper:

<tex>T(15) = 400C \\ 400 = 477 e^{-15t} \\ ln( \frac {400}{477}) = -15k \\ k = 0,011737 </tex>

Det gir funksjonen for avkjøling:

<tex>

T(t) = 477 e^{-0,011737t}</tex>

Hvor lang tid har så smeden før arbeidsstyket hans går under 150?

<tex>150 = 477 e^{-0,011737t}</tex>

t = 99 min

---

Tilbake til R2 Hovedside