R1 2015 vår LØSNING
Diskusjon av denne oppgaven på matteprat
Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.
DEL EN
Oppgave 1
a)
$f(x)= x^3+2x^2-3x \\ f´(x)=3x^2+4x-3$
b)
$g(x)= ln(x-2) \\ g´(x)= \frac{1}{x-2}$
c)
$h(x)= (2x^2-1)^3 \\ h´(x) = 3(2x^2-1)^2 \cdot 4x = 12x(2x^2-1)^2$
Oppgave 2
a)
$P(x)= x^3+2x^2-5x-6 \\ P(2)= 8+8-10-6 =0$
Altså er polynomet delelig med x - 2.
b)
$ \quad x^3+2x^2-5x-6: (x-2)= x^2+4x+3 \\ -(x^3-2x^2) \\ \quad\quad \quad 4x^2-5x \\ \quad \quad-(4x^2-8x) \\ \quad\quad \quad\quad \quad\quad 3x-6 \\ \quad\quad \quad\quad \quad -(3x-6)$
Løser $x^2+4x+3=0$ og får
P(x) = ( x - 2)( x + 1)(x + 3)
c)
Oppgave 3
$\frac{x-2}{x^2+2x} + \frac2x + \frac{x+2}{x^2-2x} - \frac{3x}{x^2 - 4} = \\ \frac{(x-2)(x-2) +2((x+2)(x-2) +(x+2)(x+2) - 3x^2}{x(x+2)(x-2)} = \\ \frac{x^2-4x+4 +2x^2 - 8+ x^2+4x +4-3x^2}{x(x+2)(x-2)} = \\ \frac{x^2}{x(x+2)(x-2)} \\ \frac{x}{(x+2)(x-2)}$
Oppgave 4
$x^2-2x +y^2+4y-20=0 \\ (x^2-2x+1) + (y^2+ 4y + 4) - 25 = 0 \\ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 5^2$
Sirkelen har radius 5, med sentrum i punktet (1, -2).
Oppgave 5
a)
$\vec{u} \parallel \vec{v} \Rightarrow \vec u = k \vec v$
I tilleg må vi skifte fortegn siden den skal være motsatt rettet. Vi multipliserer med -1 og får $ \vec u = [-3, -4]$
b)
c)
d)
Oppgave 6
a)
$\binom {12}{ 2} = \frac{12!}{10! \cdot 2!} = 6 \cdot 11 = 66$
b)
Oppgave 7
a)
b)
c)
Oppgave 8
a)
Vinkel B er en pereferivinkel som spenner over buen AC. Vinkel CSA er en sentralvinkel som spenner over sammen buen. Vinkel DSA er halvparten av vinkel CSA. Vinkel B er derfor lik vinkel DSA.
b)
$\angle B = \angle DSA \\ sinDSA = \frac{\frac 12 b}{R}\\ 2R = \frac{b}{sin B} $
c)
Tja... Vi gjør det samme med a og c, somm vi gjørde med b i oppgave b. Man må lage fotpunkt på BC og AB også. ABS og BCS er også likebeinte så oppgaven er en repetisjon av oppgave b.
Oppgave 9
$9^x - 3^x -12 = 0 \\ (3^x)^2 - 3^x - 12=0 \\ $
Setter $u=3^x$
$u^2-u - 12 =0 \\ u = -3 \vee u = 4$
Må forkaste u= -3 og får
$3^x = 4 \\ x = \frac{lg 4}{lg3}$
DEL TO
Oppgave 1
a)
b)
Fra tegningen i a ser man at likningen blir $(x-3)^2 + (y-3)^2 =18$. Altså en sirkel med sentrum i punktet (3, 3) og med radius $\sqrt{18}$
Oppgave 2
a)
b)
Fra Figuren i a leser vi at farten må være 12 - 58 km/h.
c)
Det passerer flest biler, ca. 30 stykker per minutt, når farten er ca. 26 km/h.
Oppgave 3
a)
b)
c)
Oppgave 4
a)
f har nullpunkt for x= 1 gir: 1 + a + b + c+ 1 = 0
x = 2 er x- koordinat til vendepunktet. f(x) = $12x^2+ 6ax + 2b$. f(2)=0 gir: 48 + 12a + 2b = 0
f(3) = 4 gir: 4 = 81 + 27a + 9b + 3c + 1
b)
a= -6, b = 12, c= -8. Det gir funksjonen:
$f(x)=x^4-6x^3+12x^2-8x +1, \quad D_f =\R$
Oppgave 5
a)
$g´(x)= 3ax^2-2x \\ g´(t)= 3at^2-2t$
Vi har nå funnet stigningstallet til tangenten i P. Finner så b i likningen for den rette linje:
$y = ax+ b\\ at^3-t^2=(3at^2-2t)t + b \\ b= t^2-2at^3$
Innsatt i y= ax + b gir det:
$y= (3at^2-2t)x + t^2- 2at^3$
b)
1. Definerer g(x) i CAS.
2. Finner skjæringspunktene mellom g og den rette linje.
3. Finner $g( \frac{-2at+1}{a})$ og finner punktet Q i tredje kvadrant: $( \frac{-2at+1}{a}, \frac{-8a^2t^3+8at^2-2t}{a})$.
