R1 2022 Vår LK20 LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
Videoløsning del 1 av Lektor Lainz
Løsning som pdf av Farhan Omar
DEL 1
Oppgave 1
a)
$f(x)=x^3+ln\,x$
$f'(x)=3x^2+\frac{1}{x}$
b)
$g(x)=x\cdot e^{2x}$
$g'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2\cdot e^{2x}=e^{2x}(1+2x)$
Oppgave 2
$e^{2x}-e^x=2$
$(e^x)^2-e^x-2=0$
Setter $u=e^x$
$u^2-u-2=0$
$(u+1)(u-2)=0$
$u=-1 \vee u=2$
$e^x=-1 \vee e^x=2$
Forkaster det negative svaret fordi ln(-1) ikke er definert.
$ln(e^x)=ln(2)$
$x=ln(2)$
Oppgave 3
$\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+x-12}$
$=\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(x+4)}$
$=\lim\limits_{x \to 3} \frac{1}{x+4}$
$=\frac{1}{7}$
Oppgave 4
a)
$\overrightarrow{AC} = [t-1, 4-2] = [t-1, 2]$
$\overrightarrow{AB} = [-1-1, 5-2] = [-2, 3]$
Dersom vinkelen mellom to vektorer er 90 grader, er skalarproduktet av disse to vektorene lik 0.
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} = 0$
$[t-1,2]\cdot[-2,3]=0$
$(t-1)\cdot(-2)+2\cdot 3=0$
$-2t+2+6=0$
$-2t=-8$
$t=4$
Anbefaler å tegne punktene i et koordinatsystem for å se at det stemmer.
b)
Dersom A, B og C skal ligge på en rett linje, er $\overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{AB}$ parallelle. Da har vi at:
$\overrightarrow{AC} = k\cdot\overrightarrow{AB}$
$[t-1,2]=k\cdot[-2,3]$
Dette gir oss to likninger:
$I \quad t-1=-2k$
$II \quad 2=3k \quad \Rightarrow \quad k=\frac{2}{3}$
Setter inn k=2/3 inn i likning I:
$I \quad t-1=-2\cdot\frac{2}{3}$
$t=\frac{-4}{3}+1$
$t=-\frac{1}{3}$
Anbefaler å tegne punktene i et koordinatsystem for å se at det stemmer.
Oppgave 5
a)
Eleven ønsker å finne toppunktet til funksjonen f, i intervallet $x\in[0,\rightarrow\rangle$
Linje 1-2: her defineres funksjonen f(x)
Linje 4: variabelen x gis verdien 0
Linje 5: variabelen h gis verdien 0,001
Linje 6: dette er en while-løkke som gjentar operasjonen i linje 7, så lenge funksjonsverdien f(x) er mindre enn eller lik funksjonsverdien f(x+h).
Linje 7 (inni while-løkka): verdien til x økes med h.
Linje 9: etter at while-løkken er ferdig, skrives verdien til x ut. Dette er en tilnærming til x-verdien hvor funksjonsverdien f(x) ikke lenger er mindre eller lik funksjonsverdien f(x+h). Vi har da funnet tilnærmet x-verdi for toppunktet til funksjonen.
b)
Vi kan finne toppunktet ved regning, ved å sette f'(x) lik 0.
$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$
$f'(x)=\frac{1\cdot(1+x^2)-x\cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2-2x^2}{x^4+2x^2+1} = \frac{-x^2+1}{x^4+2x^2+1}$
Setter f'(x)=0:
$\frac{-x^2+1}{x^4+2x^2+1}=0$
$-x^2+1=0$
$x^2=1$
$x=-1\vee x=1$
Vi forkaster det negativet svaret, siden programmet bare finner toppunktet for $x\in[0,\rightarrow\rangle$
Sjekker at x=1 er et toppunkt, og ikke et bunnpunkt eller terrassepunkt, ved å sjekke at den deriverte er positiv før ekstremalpunktet (grafen til f vokser), og at den deriverte er negativ etter ekstremalpunktet (grafen til f synker):
$f'(0)= \frac{-0^2+1}{0^4+2\cdot 0^2+1}=\frac{1}{1}=1$
$f'(2)= \frac{-2^2+1}{2^4+2\cdot 2^2+1}=\frac{-4+1}{16+8+1}=\frac{-3}{25}$
Vi har nå vist at funksjonen har et toppunkt i x=1.
DEL 2
Oppgave 1
$ f(x) = \left\{\begin{array}{lr} x^2+1 & , & x <2 \\ x-t & , & x \geq 2 \end{array} \right.$
a)
For at funksjonen f skal være kontinuerlig, må grenseverdien når x går mot 2 fra venstre, være lik grenseverdien når x går mot 2 fra høyre.
$\lim\limits_{x \to 2^-} x^2+1 = 5$
$\lim\limits_{x \to 2^+} x-t = 5 \quad \Rightarrow \quad t=-3$
b)
Vi må sjekke om $\lim\limits_{x \to 2} f'(x)$ eksisterer.
$ f'(x) = \left\{\begin{array}{lr} 2x & , & x <2 \\ 1 & , & x > 2 \end{array} \right.$
$\lim\limits_{x \to 2^-} f'(x) = \lim\limits_{x \to 2^-} 2x = 4$
$\lim\limits_{x \to 2^+} f'(x) = \lim\limits_{x \to 2^+} 1 = 1$
Grenseverdien eksisterer ikke, og $f'(2)$ eksisterer derfor ikke. Funksjonen er ikke deriverbar i $x=2$, når $t=-3$.
Oppgave 4
Bruker CAS i Geogebra.
Det tar ca. 7,8 timer før temperaturen i kaffen er mindre enn 40 grader Celsius.
