(17 mellomrevisjoner av én bruker vises ikke)
Linje 8: Linje 8:
  
 
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2710 Løsningsforslag laget av Ole Henrik Morgenstierne]
 
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2710 Løsningsforslag laget av Ole Henrik Morgenstierne]
 +
 +
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHVqAzWxwetJfU5F0o6GDze4 Løsning til del 1 som videoer laget av Lektor Raustøl]
 +
 +
=DEL 1=
 +
 +
==Oppgave 1==
 +
 +
===a)===
 +
 +
$f(x)=2cos(\pi x)$
 +
 +
$f'(x)=-2 \pi sin(\pi x)$
 +
 +
===b)===
 +
 +
$g(x)=cos^2 x \cdot sin\, x$
 +
 +
$g'(x)=(cos^2 x)' \cdot sin\, x + cos^2 x \cdot (sin\, x)' \\ = 2cos\, x \cdot (-sin\, x) \cdot sin\, x + cos^2 x \cdot cos\, x \\ = -2sin^2 x \cdot cos x + cos^3 x$
 +
 +
==Oppgave 2==
 +
 +
===a)===
 +
 +
$\int_{-1}^{1} (2x^3+3x-1) dx \\ = [ \frac{2}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2-x]_{-1}^{1} \\ =(\frac{1}{2}\cdot 1^4+\frac{3}{2}\cdot 1^2-1)-(\frac{1}{2}\cdot (-1)^4+\frac{3}{2}\cdot (-1)^2-(-1)) \\ =(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-1)-(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1) \\ = -1-1 = -2$
 +
 +
===b)===
 +
 +
$u=2x^2-1$
 +
 +
$\frac{du}{dx}=4x \Rightarrow dx=\frac{du}{4x}$
 +
 +
$\int \frac{8x}{\sqrt{2x^2-1}} dx = \int \frac{8x}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{4x} = \int \frac{2}{\sqrt{u}} du = 2 \int u^{-\frac{1}{2}} du \\ = \frac{2}{\frac{1}{2}}\cdot u^{\frac{1}{2}} + C = 4 \cdot \sqrt{u} + C = 4\sqrt{2x^2-1}+C$
 +
 +
===c)===
 +
 +
$\int \frac{2}{(x+3)(x+1)}dx = \int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x+1)} dx $
 +
 +
Vi bestemmer A og B ved å løse likningen:
 +
 +
$2 = (x+1)A + (x+3)B \\ 2=Ax+A+Bx+3B \\ 2=(A+B)x + A+ 3B$
 +
 +
Telleren har ikke noe x-ledd, så vi har:
 +
 +
I $A+B=0$
 +
 +
II$A+3B=2$
 +
 +
Setter inn $A=-B$ i likning II:
 +
 +
$-B+3B=2 \Rightarrow B=1$
 +
 +
Fra likning I har vi da $A=-1$
 +
 +
Integralet blir da:
 +
 +
$\int \frac{2}{(x+3)(x+1)}dx = \int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x+1)} dx = \int \frac{-1}{(x+3)}+\frac{1}{(x+1)} dx \\ = - \ln|{x+3}| + \ln|{x+1}| + C = \ln|{\frac{x+1}{x+3}}| + C$
 +
 +
==Oppgave 3==
 +
 +
===a)===
 +
 +
Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved
 +
 +
$S_n=\frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}$
 +
 +
Vi må finne antall ledd i rekken $7+11+....+479+483$.
 +
 +
Ser at $d=4$, så antall ledd (n) blir:
 +
 +
$n=\frac{483-7}{4}+1=\frac{476}{4}+1=119+1=120$
 +
 +
Summen av denne rekken blir:
 +
 +
$S_{120}=\frac{120\cdot (7+483)}{2}= 60\cdot(7+483)=420+28980 =29400$
 +
 +
===b)===
 +
 +
For en geometrisk rekke har vi
 +
 +
$a_n=a_1\cdot k^{n-1}$
 +
 +
Vi vet at $a_2=6$ og får likning I:
 +
 +
$a_2=a_1\cdot k^{2-1} \\ 6=a_1\cdot k \\ a_1=\frac{6}{k}$
 +
 +
Summen av en geometrisk rekke som konvergerer er gitt ved
 +
 +
$S=\frac{a_1}{(1-k)}$
 +
 +
Vi vet at summen av rekken er 24 og har dermed likning II:
 +
 +
$24=\frac{a_1}{(1-k)} \\ a_1=24(1-k)$
 +
 +
Setter inn $a_1=\frac{6}{k}$ i likning II:
 +
 +
$\frac{6}{k} = 24(1-k) \\ 6=24k(1-k) \\ 6=24k-24k^2 \\ 24k^2-24k+6=0 \\ k^2-k+\frac{1}{4}=0 \\ (k-\frac{1}{2})(k-\frac{1}{2})=0 \\ k=\frac{1}{2} $
 +
 +
Setter inn $k=\frac{1}{2} $ i likning I:
 +
 +
$a_1=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$
 +
 +
==Oppgave 4==
 +
 +
===a)===
 +
 +
$2sin(2x)=1$, der $x\in[0,\pi]$
 +
 +
$sin(2x)=\frac{1}{2}$
 +
 +
$ 2x=\frac{\pi}{6} + k \cdot 2 \pi \vee 2x = (\pi - \frac{\pi}{6}) + k\cdot 2\pi \quad \quad k \in \mathbb{Z} $
 +
 +
$ x = \frac{\pi}{12} \vee x = \frac{5\pi}{12} \quad $ kun disse to løsningene gir $x\in[0,\pi]$
 +
 +
$ L = \{ \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} \}$
 +
 +
===b)===
 +
 +
$2cos^2 x-cos x=1$, der $x\in[0,4\pi]$
 +
 +
$u=cos\,x$
 +
 +
$2u^2-u-1=0 \\ u^2-\frac{1}{2} u - \frac{1}{2}=0 \\ (u+\frac{1}{2})(u-1)=0 \\ u=-\frac{1}{2} \vee  u=1 \\ cos\,x=-\frac{1}{2} \vee cos\, x=1$
 +
 +
$cos\,x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3} + k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{ \frac{2\pi }{3}, \frac{8\pi}{3} \} $ for $x\in[0,4\pi]$
 +
 +
og $cos\,x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x= \frac{4\pi}{3} + k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{ \frac{4\pi}{3}, \frac{10\pi}{3} \}$ for $x\in[0,4\pi]$
 +
 +
$cos\,x=1 \Rightarrow x=0 + k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{0,2\pi,4\pi \}$ for $x\in[0,4\pi]$
 +
 +
$L=\{ 0,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},2\pi,\frac{8\pi}{3},\frac{10\pi}{3},4\pi \}$
 +
 +
==Oppgave 5==

Nåværende revisjon fra 31. mar 2020 kl. 09:31

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne eksamensoppgaven

Løsningsforslag til del 1 laget av Emilga

Løsningsforslag til del 2 laget av Kristian Saug

Løsningsforslag laget av Ole Henrik Morgenstierne

Løsning til del 1 som videoer laget av Lektor Raustøl

Innhold

[rediger] DEL 1

[rediger] Oppgave 1

[rediger] a)

$f(x)=2cos(\pi x)$

$f'(x)=-2 \pi sin(\pi x)$

[rediger] b)

$g(x)=cos^2 x \cdot sin\, x$

$g'(x)=(cos^2 x)' \cdot sin\, x + cos^2 x \cdot (sin\, x)' \\ = 2cos\, x \cdot (-sin\, x) \cdot sin\, x + cos^2 x \cdot cos\, x \\ = -2sin^2 x \cdot cos x + cos^3 x$

[rediger] Oppgave 2

[rediger] a)

$\int_{-1}^{1} (2x^3+3x-1) dx \\ = [ \frac{2}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2-x]_{-1}^{1} \\ =(\frac{1}{2}\cdot 1^4+\frac{3}{2}\cdot 1^2-1)-(\frac{1}{2}\cdot (-1)^4+\frac{3}{2}\cdot (-1)^2-(-1)) \\ =(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-1)-(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1) \\ = -1-1 = -2$

[rediger] b)

$u=2x^2-1$

$\frac{du}{dx}=4x \Rightarrow dx=\frac{du}{4x}$

$\int \frac{8x}{\sqrt{2x^2-1}} dx = \int \frac{8x}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{4x} = \int \frac{2}{\sqrt{u}} du = 2 \int u^{-\frac{1}{2}} du \\ = \frac{2}{\frac{1}{2}}\cdot u^{\frac{1}{2}} + C = 4 \cdot \sqrt{u} + C = 4\sqrt{2x^2-1}+C$

[rediger] c)

$\int \frac{2}{(x+3)(x+1)}dx = \int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x+1)} dx $

Vi bestemmer A og B ved å løse likningen:

$2 = (x+1)A + (x+3)B \\ 2=Ax+A+Bx+3B \\ 2=(A+B)x + A+ 3B$

Telleren har ikke noe x-ledd, så vi har:

I $A+B=0$

II$A+3B=2$

Setter inn $A=-B$ i likning II:

$-B+3B=2 \Rightarrow B=1$

Fra likning I har vi da $A=-1$

Integralet blir da:

$\int \frac{2}{(x+3)(x+1)}dx = \int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x+1)} dx = \int \frac{-1}{(x+3)}+\frac{1}{(x+1)} dx \\ = - \ln|{x+3}| + \ln|{x+1}| + C = \ln|{\frac{x+1}{x+3}}| + C$

[rediger] Oppgave 3

[rediger] a)

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved

$S_n=\frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}$

Vi må finne antall ledd i rekken $7+11+....+479+483$.

Ser at $d=4$, så antall ledd (n) blir:

$n=\frac{483-7}{4}+1=\frac{476}{4}+1=119+1=120$

Summen av denne rekken blir:

$S_{120}=\frac{120\cdot (7+483)}{2}= 60\cdot(7+483)=420+28980 =29400$

[rediger] b)

For en geometrisk rekke har vi

$a_n=a_1\cdot k^{n-1}$

Vi vet at $a_2=6$ og får likning I:

$a_2=a_1\cdot k^{2-1} \\ 6=a_1\cdot k \\ a_1=\frac{6}{k}$

Summen av en geometrisk rekke som konvergerer er gitt ved

$S=\frac{a_1}{(1-k)}$

Vi vet at summen av rekken er 24 og har dermed likning II:

$24=\frac{a_1}{(1-k)} \\ a_1=24(1-k)$

Setter inn $a_1=\frac{6}{k}$ i likning II:

$\frac{6}{k} = 24(1-k) \\ 6=24k(1-k) \\ 6=24k-24k^2 \\ 24k^2-24k+6=0 \\ k^2-k+\frac{1}{4}=0 \\ (k-\frac{1}{2})(k-\frac{1}{2})=0 \\ k=\frac{1}{2} $

Setter inn $k=\frac{1}{2} $ i likning I:

$a_1=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$

[rediger] Oppgave 4

[rediger] a)

$2sin(2x)=1$, der $x\in[0,\pi]$

$sin(2x)=\frac{1}{2}$

$ 2x=\frac{\pi}{6} + k \cdot 2 \pi \vee 2x = (\pi - \frac{\pi}{6}) + k\cdot 2\pi \quad \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{12} \vee x = \frac{5\pi}{12} \quad $ kun disse to løsningene gir $x\in[0,\pi]$

$ L = \{ \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} \}$

[rediger] b)

$2cos^2 x-cos x=1$, der $x\in[0,4\pi]$

$u=cos\,x$

$2u^2-u-1=0 \\ u^2-\frac{1}{2} u - \frac{1}{2}=0 \\ (u+\frac{1}{2})(u-1)=0 \\ u=-\frac{1}{2} \vee u=1 \\ cos\,x=-\frac{1}{2} \vee cos\, x=1$

$cos\,x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3} + k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{ \frac{2\pi }{3}, \frac{8\pi}{3} \} $ for $x\in[0,4\pi]$

og $cos\,x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x= \frac{4\pi}{3} + k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{ \frac{4\pi}{3}, \frac{10\pi}{3} \}$ for $x\in[0,4\pi]$

$cos\,x=1 \Rightarrow x=0 + k\cdot 2\pi \Rightarrow L=\{0,2\pi,4\pi \}$ for $x\in[0,4\pi]$

$L=\{ 0,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},2\pi,\frac{8\pi}{3},\frac{10\pi}{3},4\pi \}$

[rediger] Oppgave 5