(c))
(b))
 
(26 mellomrevisjoner av én bruker vises ikke)
Linje 30: Linje 30:
  
 
==Oppgave 2==
 
==Oppgave 2==
 +
 +
===a)===
  
 
$ \frac{16^2 \cdot 27^3}{72^2 \cdot 12}  \\= \frac{(2^4)^2 \cdot (3^3)^3}{(2^3\cdot 3^2)^2 \cdot 2^2 \cdot 3 } \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^6 \cdot 3^4 \cdot 2^2 \cdot 3} \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^8 \cdot 3^5} \\ = 2^{8-8} \cdot 3^{9-5} = 2^0 \cdot 3^4 = 3^4 = 81$
 
$ \frac{16^2 \cdot 27^3}{72^2 \cdot 12}  \\= \frac{(2^4)^2 \cdot (3^3)^3}{(2^3\cdot 3^2)^2 \cdot 2^2 \cdot 3 } \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^6 \cdot 3^4 \cdot 2^2 \cdot 3} \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^8 \cdot 3^5} \\ = 2^{8-8} \cdot 3^{9-5} = 2^0 \cdot 3^4 = 3^4 = 81$
Linje 35: Linje 37:
 
===b)===
 
===b)===
  
 +
$ \frac{x-2}{x-1} - \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1} \\ =\frac{(x-2) \cdot  \color{red}{ (x+1)}}{(x-1) \cdot \color{red}{ (x+1)}}  -  \frac{x \cdot  \color{red}{ (x-1)}}{(x+1) \cdot \color{red}{ (x-1)}} - \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \\= \frac{(x^2+x-2x-2) - (x^2-x) - 2x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x-2x-2-x^2+x-2x}{(x-1)(x+1)} \\ = \frac{-2x-2}{(x-1)(x+1)} \\ = \frac{-2(x+1)}{(x-1)(x+1)}  \\ = - \frac{2}{x-1}$
  
 
===c)===
 
===c)===
  
$lg( \frac{2}{x^2}) + lg (2x^2) + lg(x) - lg (4x) \\ =( lg(2) - lg(x^2)) + ( lg (2) + lg(x^2)) + lg(x) - (lg(4) + lg(x)) \\= lg(2) - 2lg(x) +lg(2) + 2lg(x) + lg(x)- lg(2^2) - lg(x) \\ =  $
+
$lg( \frac{2}{x^2}) + lg (2x^2) + lg(x) - lg (4x) \\ =( lg(2) - lg(x^2)) + ( lg (2) + lg(x^2)) + lg(x) - (lg(4) + lg(x)) \\= lg(2) - 2lg(x) +lg(2) + 2lg(x) + lg(x)- lg(2^2) - lg(x) \\ = 2 lg(2) + lg(x) -2lg(2) - lg(x) \\ = 0 $
  
 
==Oppgave 3==
 
==Oppgave 3==
 +
 +
<math> \left[ \begin{align*} x^2+2y =13x \\ 3x - y =-5  \end{align*}\right] </math>
 +
 +
Løser andre likning og setter inn i den første.
 +
 +
$ y = 3x + 5$
 +
 +
Vi setter inn for y i den første likningen:
 +
 +
$x^2 + 2 (3x + 5) = 13x \\ x^2 -7x + 5 = 0  $
  
 
==Oppgave 4==
 
==Oppgave 4==
 +
 +
 +
===a)===
 +
 +
Pris brus = x og pris pølse = y.
 +
 +
<math> \left[ \begin{align*} 6x + 4y =170 \\  5x + 10y =275  \end{align*}\right] </math>
 +
 +
===b)===
 +
Løser en likning med hensyn på x og setter inn i den andre:
 +
 +
$5x=275-10y \\ x = 55 - 2y $
 +
 +
setter så uttrykket for x inn i den andre likningen:
 +
 +
$6( 55 - 2y) +4y =170 \\ 330 -12y + 4y = 170 \\ -8y = -160 \\ y = 20$
 +
 +
Innsatt for x får man 15. Dvs. en  pølse koster 20 kroner og en brus koster 15 kroner.
  
 
==Oppgave 5==
 
==Oppgave 5==
 +
 +
===a)===
 +
 +
$ f(x) = x^3+3x \\ f ' (x) = 3x^2+3 \\ f '(1) = 3 \cdot 1 + 3 = 6 $
 +
 +
Når x =1 har funksjonen en momentan vekstfart på 6.
 +
 +
 +
===b)===
 +
 +
Den deriverte er positiv for alle verdier av x, derfor er funksjonen voksende og har kun positive tangenter.
 +
 +
 +
===c)===
 +
 +
$ f ' (x) = 15 \\ 3x^2+3 = 15 \\ 3x^2 = 12 \\ x^2 = 4 \\ x= \pm 2 $
  
 
==Oppgave 6==
 
==Oppgave 6==
Linje 51: Linje 98:
  
 
==Oppgave 8==
 
==Oppgave 8==
 +
 +
===a)===
 +
 +
Omkrets:  $ O = 4y +8x = 12 \\ 4y = 12 - 8x \\ y= 3-2x$
 +
 +
Areal: $A= y^2+2x^2 \\ A(x)= (3-2x)^2+2x^2 \\ A(x)= 9-12x+4x^2+2x^2 \\ A(x)= 6x^2-12x +9$
 +
 +
===b)===
 +
 +
$A' (x)= 12x -12 \\ A' (x)=0 \\ 12x-12 =0 \\ x=1 \\ $
 +
 +
Innsatt for y: $y = 3 - 2x \\ y = 3 - 2 \cdot 1 \\ y=1$
 +
 +
Det minste arealet får man når både x = 1 og y = 1.
  
 
==DEL TO==
 
==DEL TO==

Nåværende revisjon fra 17. sep 2019 kl. 12:07

Oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas


Innhold

[rediger] DEL EN

[rediger] Oppgave 1

[rediger] a)

$3^{x-5} = 81 \\ 3^{x-5} = 3^4 \\ lg (3^{x-5}) = lg(3^4) \\ (x-5)\cdot lg 3 = 4 \cdot lg3 \\ x-5 = 4 \\ x=9 $

[rediger] b)

$x^2-7x+10 =0$

Faktoriserer

$x^2-7x+10 = (x-2)(x-5) \\ x=2 \vee x = 5$

Kan også bruke abc - formelen for faktorisering.

[rediger] c)

$lg(x+3) - lgx = 1 \quad x>0 \\ lg ( \frac{x+3}{x} )= 1 \\ 10^{lg(\frac {x+3}{x} )} 10^1 \\ \frac{x+3}{x} = 10 \\ x+3 = 10x \\ x = \frac 13 $

[rediger] Oppgave 2

[rediger] a)

$ \frac{16^2 \cdot 27^3}{72^2 \cdot 12} \\= \frac{(2^4)^2 \cdot (3^3)^3}{(2^3\cdot 3^2)^2 \cdot 2^2 \cdot 3 } \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^6 \cdot 3^4 \cdot 2^2 \cdot 3} \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^8 \cdot 3^5} \\ = 2^{8-8} \cdot 3^{9-5} = 2^0 \cdot 3^4 = 3^4 = 81$

[rediger] b)

$ \frac{x-2}{x-1} - \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1} \\ =\frac{(x-2) \cdot \color{red}{ (x+1)}}{(x-1) \cdot \color{red}{ (x+1)}} - \frac{x \cdot \color{red}{ (x-1)}}{(x+1) \cdot \color{red}{ (x-1)}} - \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \\= \frac{(x^2+x-2x-2) - (x^2-x) - 2x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x-2x-2-x^2+x-2x}{(x-1)(x+1)} \\ = \frac{-2x-2}{(x-1)(x+1)} \\ = \frac{-2(x+1)}{(x-1)(x+1)} \\ = - \frac{2}{x-1}$

[rediger] c)

$lg( \frac{2}{x^2}) + lg (2x^2) + lg(x) - lg (4x) \\ =( lg(2) - lg(x^2)) + ( lg (2) + lg(x^2)) + lg(x) - (lg(4) + lg(x)) \\= lg(2) - 2lg(x) +lg(2) + 2lg(x) + lg(x)- lg(2^2) - lg(x) \\ = 2 lg(2) + lg(x) -2lg(2) - lg(x) \\ = 0 $

[rediger] Oppgave 3

$\left[ \begin{align*} x^2+2y =13x \\ 3x - y =-5 \end{align*}\right]$

Løser andre likning og setter inn i den første.

$ y = 3x + 5$

Vi setter inn for y i den første likningen:

$x^2 + 2 (3x + 5) = 13x \\ x^2 -7x + 5 = 0 $

[rediger] Oppgave 4

[rediger] a)

Pris brus = x og pris pølse = y.

$\left[ \begin{align*} 6x + 4y =170 \\ 5x + 10y =275 \end{align*}\right]$

[rediger] b)

Løser en likning med hensyn på x og setter inn i den andre:

$5x=275-10y \\ x = 55 - 2y $

setter så uttrykket for x inn i den andre likningen:

$6( 55 - 2y) +4y =170 \\ 330 -12y + 4y = 170 \\ -8y = -160 \\ y = 20$

Innsatt for x får man 15. Dvs. en pølse koster 20 kroner og en brus koster 15 kroner.

[rediger] Oppgave 5

[rediger] a)

$ f(x) = x^3+3x \\ f ' (x) = 3x^2+3 \\ f '(1) = 3 \cdot 1 + 3 = 6 $

Når x =1 har funksjonen en momentan vekstfart på 6.


[rediger] b)

Den deriverte er positiv for alle verdier av x, derfor er funksjonen voksende og har kun positive tangenter.


[rediger] c)

$ f ' (x) = 15 \\ 3x^2+3 = 15 \\ 3x^2 = 12 \\ x^2 = 4 \\ x= \pm 2 $

[rediger] Oppgave 6

[rediger] Oppgave 7

[rediger] Oppgave 8

[rediger] a)

Omkrets: $ O = 4y +8x = 12 \\ 4y = 12 - 8x \\ y= 3-2x$

Areal: $A= y^2+2x^2 \\ A(x)= (3-2x)^2+2x^2 \\ A(x)= 9-12x+4x^2+2x^2 \\ A(x)= 6x^2-12x +9$

[rediger] b)

$A' (x)= 12x -12 \\ A' (x)=0 \\ 12x-12 =0 \\ x=1 \\ $

Innsatt for y: $y = 3 - 2x \\ y = 3 - 2 \cdot 1 \\ y=1$

Det minste arealet får man når både x = 1 og y = 1.

[rediger] DEL TO