Separable differensiallikninger

En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <math>f^,(x)=g(x)h(f)</tex> der <math>g</tex> og <math>h</tex> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <math>f^,(x)\to \frac{df}{dx}</tex>; vi "jukser" litt ved å betrakte <math>\frac{df}{dx}</tex> som en brøk i tradisjonell forstand. (Merk at dette ikke er et formelt bevis, men en fin måte å huske metoden på)

Den generelle løsningsmetoden for separable diff.ligninger blir da:

<math>\frac{df}{dx}=g(x)h(f) \, \, \Rightarrow \,\, \frac{df}{h(f)}=g(x)dx \,\, \Rightarrow \,\, \int\frac{df}{h(f)}=\int g(x)\,dx </tex>

Løser vi integralene har vi i prinsippet løst diff.ligningen.

Eksempel

Vi ser på ligningen <math>f^,=xf^2</tex>. Denne er separabel med <math>g(x)=x</tex> og <math>h(f)=f^2</tex> (sammenlignet med den generelle formen). Vi må derfor løse ligningen <math>\int \frac{df}{f^2}=\int x\,dx</tex>. Integralene blir <math>\int \frac{df}{f^2}=\int f^{-2}\,df=-f^{-1}+A</tex> og <math>\int x\,dx=\frac12 x^2+B</tex> for konstanter <math>A</tex> og <math>B</tex>. Setter vi uttrykkene lik hverandre får vi <math>-\frac{1}{f}+A=\frac12 x^2+B</tex>. Vi sammentrekker konstantene ved å sette <math>B-A=C</tex>, og får <math>-\frac{1}{f}=\frac12 x^2+C</tex>. Løsningen blir dermed <math>f(x)=-\frac{1}{\frac12 x^2+C}</tex>

Vi verifiserer løsningen ved innsetting i den opprinnelige ligningen; <math>(-\frac{1}{\frac12 x^2+C})^,=(\frac{1}{\frac12 x^2+C})^2\cdot x=xf^2</tex>.