Innhold

Innledning

Et likningssett er en samling (to eller flere) likninger i én eller flere variabler.
Ligningen 2x + 7 = 13 har en ukjent, x, og løses lett med metodene beskrevet i kapittelet om ligninger med en ukjent.
Vi kan ha flere ukjente, for eksempel to.
y = 2x + 1

Her er både x og y ukjente.


Ligningen har uendelig mange løsninger. Ligningen er et funksjonsutrykk for en rett linje.
Dersom ligninger med flere ukjente skal ha entydige løsninger må man ha like mange ligninger som man har ukjente.
Dersom vi har to ligninger med to ukjente, kalles dette et sett med ligninger, eller et ligningssett.

y = 2x + 1
y = - x + 4
Ligningene hører sammen. Målet er å finne en x- verdi og en y- verdi som passer i begge.

Lineære likningssett

Lineære likningsett er likningssett som har variabler av første grad, som x og y. Vanlige løsningsmetoder er addisjonsmetoden, substitisjonsmetoden, og grafisk løsning.

Løsningsmetoder

Addisjonsmetoden

Addisjonsmetoden går som navnet tilsier ut på å legge sammen ligningene slik at vi får x eller y til å forsvinne. La oss legge sammen ligning (1) og (2). Vi ser at verken x eller y forsvinner sånn uten videre. Men, om vi først multipliserer ligning (2) med 2 ser vi at vi oppnår det vi ønsker. Vi får:

$y=2x+1 \\ \underline{y=-x+4 \quad | \cdot 2} \\ \quad \quad \quad y=2x+1 \\ \underline{ + \quad 2y=-2x+8} \\\quad \quad \quad 3y = 9 \\ \quad \quad \quad y=3$

Vi setter inn y = 3 i en av ligningene og får x = 1.

I beste fall kan vi addere ligningene direkte. Dersom den ukjente har en faktor med samme absoluttverdi, men med motsatt fortegn er det tilfelle.

Eksempel:

$-y = x - 5$

$y = x - 3$

Adder direkte og får

$0 = 2x - 8$

$x=4$

Setter inn x = 4 i en av ligningene og får y = 4-3 =1
x = 4 og y = 1

I nest beste fall må man multiplisere en av ligningene slik at den ukjente forsvinner ved addisjon.


Eksempel:

$2y = x + 4$

$y =-x + 5$

Multipliser ligning to med minus to, før addisjon.

$2y = x + 4$

$-2y = 2x - 10$

Legger sammen og får:
$0=3x - 6$

$x = 2$

Setter man x = 2 gir det at y = 3






I verste fall må begge ligningene multipliseres med det som gir faktorenes minste multiplum.

Eksempel:

$3y = 6x - 3 \\ \underline{2y = -2x + 4} \\ 3y= 6x - 3 \quad | \quad \cdot 2 \\ \underline{2y = -2x + 4 \quad | \quad \cdot (-3)} \\ \quad \quad \quad 6y = 12x -6 \\ \underline{ + \quad -6y = 6x - 12} \\ \quad \quad \quad 0 =18x -18 \\ \quad \quad \quad x = 1$

Innsatt x = 1 gir y = 1


Innsettingsmetoden

Denne metoden går ut på å erstatte y i den ene ligningen med utrykket som inneholder x fra den andre likningen. y har samme verdi i begge ligningene, derfor kan vi gjøre dette (det samme gjelder for x).

Eksempel

$y = 2x + 1 \quad \vee \quad 2y= -x -8 \\ 2(2x+1) = -x -8 \\ 4x+2 =-x-8 \\ 5x=-10 \\x=-2$

I andre linje setter man utrykket for y i venstre likning inn i den høyre likningen. Når man har funnet at x = -2 setter man det resultatet inn i den letteste likningen (i dette tilfellet den venstre) for å finne y:

$y= 2x + 1 \\ y = 2 \cdot (-2) + 1 \\ y = -3$

Løsning

$x=-2 \quad \wedge \quad y=-3$

Oppgaven er nå løst, men for å vise at det er likegyldig hvilken variabel man setter inn for løser vi samme oppgaven nedenfor ved å erstatte x. Svaret blir det samme.

$y = 2x + 1 \quad \vee \quad 2y= -x -8 \\ y = 2x + 1 \quad \vee \quad x = -2y - 8 \\ y = 2(-2y - 8) +1 \\ y =-4y -16 +1 \\ 5y = -15 \\y=-3$

I andre linje er likning to ornet slik at x står alane på venstre side. Uttrykket er så satt inn i likning en, i tredje linje. Ved innsetting ser man at når y= -3 så blir x = -2, altså samme svar som over.

Man bør bruke et par sekunder på å finne ut hvilen av variablene man ønsker å erstatte, ut fra hva som gir minst og lettest regning.


Eksempel

$2y = x + 1$

$3y = 7x - 4$

Løser første ligning med hensyn på x:

$x = 2y - 1$

$3y = 7x - 4$

Setter uttrykket for x inn i ligning to.

$3y = 7(2y -1) -4$

$3y = 14y - 7 - 4$

$-11y = -11$

$y = 1$

Innsatt i en av ligningene over gir det x = 1

x = 1 og y = 1


Test deg selv

Grafisk løsning

Grafisk løsning vil si at den enkelte likning plottes i et koordinatsystem der y er en funkslon av x. Der grafene krysser hverandre finner man løsningen for x og y.

Et likningsett er gitt ved:

$3y-3 = 1,5x$

$y = -0,5x + 3$

Får så y alene på venstre side i begge likninger:
Grafisk løsning av likningsett

$y = 0,5x +1$

$y = -0,5x + 3$

Plotter så grafene i et koordinatsystem og finner skjæringspunktet.
Ved inspeksjon ser man at likningssettet har løsning for
x = 2 og y = 2


Test deg selv



Dersom du får i oppgave å løse et ligningsett er det likegyldig hvilken metode du bruker, alle tre gir samme svar. Du bør allikevel beherske alle metodene da du ofte blir bedt om å løse ligningssettet ved hjelp av en spesiell metode.




Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside

Tilbake til hovedside