Kryssprodukt

[HåpløsSOS]

For de tre vektorene u, v og w får vi oppgitt at u + v + w = 0.
Vis at uxv = vxw = wxu.

Hadde satt stor pris på om noen kunne gi meg et hint om hvordan jeg skal løse oppgave

[Vektormannen]

I fra sammenhengen [tex]\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = 0[/tex] får du for eksempel [tex]\vec{v} = -\vec{u} - \vec{w}[/tex]. Da blir [tex]\vec{u} \times \vec{v} = \vec{u} \times (-\vec{u} - \vec{w})[/tex]. Hva får du om du regner ut det?

[HåpløsSOS]

Jeg får

u x (-u-w) = u x -u + u x -w = u x u + w x u = 0 + v 0 v

Dette blir vel feil?

[Vektormannen]

Det er riktig frem til det siste likhetstegnet. [tex]\vec{u} \times \vec{u}[/tex] blir 0, det er riktig. Men hva mener du med [tex]\vec{v} 0 \vec{v}[/tex]?

[HåpløsSOS]

Jeg skrev 0 istedenfor = . Altså fikk jeg v-vektor som svar.

[Vektormannen]

Hvorfor mener du at [tex]\vec{w} \times \vec{u} = \vec{v}[/tex]?

Hvis du ser litt på det du har gjort nå så startet du med [tex]\vec{u} \times \vec{v}[/tex] og endte opp med [tex]\vec{w} \times \vec{u}[/tex]. Det var jo nettopp en av tingene du skulle vise!

[HåpløsSOS]

Ja, selvfølgelig.

Jeg kommer også frem til at v x w = u x v og at w x u = v x w.

Kan jeg da skrive u x v = v x w = w x u ? Eller mangler jeg et "mellomledd"?

[Vektormannen]

Neida, da er du i mål!

Strengt tatt trenger du bare å gjøre to utregninger. Her finner vi som du gjorde at [tex]\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w} \times \vec{u}[/tex]. Så kan vi for eksempel ta [tex]\vec{v} \times \vec{w} = ... = \vec{w} \times \vec{u}[/tex]. Da har vi altså at [tex]\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w} \times \vec{u} = \vec{v} \times \vec{w}[/tex].