integrasjon

[stimorolextra offline]

Oppgave 6.204 i sinus R2 2016-versjon:

"FIguren viser et flatestykke som er avgrenset av y-aksen, linjen y=2 og grafen f(x)=[tex]\sqrt{x}[/tex]

a) finn volum når vi dreier 360grader om x-aksen
b) finn volum når vi dreier 360grader om y-aksen.

Jeg har aldri vært borti grafer som har vært avgrenset av en y-akse før.... Hvordan gjør man det!? Jeg skjønner ingenting, blir feil svar når jeg regner på vanlig måte ved å ta pi*integralet av (f(x))^2. Da får jeg jo volumet av det mellom x-aksen og grafen, men jeg vil jo ha volumet av det skraverte området. Grafen skjærer y når x=4.
Kan jeg da ta volum av hele minus volum av det under grafen?

[Janhaa]

b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]

[stimorolextra offline]

b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]

Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?

[Aleks855]

b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]

Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?

$y = \sqrt x \Rightarrow y^2 = x \Rightarrow y^4 = x^2$

Så når han skriver $\int x^2 \mathrm dy$ så er det det samme som $\int y^4 \mathrm dy = \frac{y^5}{5}+ C$ med påfølgende regning siden ditt integral er bestemt.

[stimorolextra offline]

b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]

Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?

$y = \sqrt x \Rightarrow y^2 = x \Rightarrow y^4 = x^2$

Så når han skriver $\int x^2 \mathrm dy$ så er det det samme som $\int y^4 \mathrm dy = \frac{y^5}{5}+ C$ med påfølgende regning siden ditt integral er bestemt.

Men hvorfor y^4???

[sibbefrasandnes offline]

Hvorfor y^4?

[geheffe offline]

Hvorfor y^4?

Siden [tex]y = f(x) = \sqrt{x}[/tex] blir [tex]y^4 = x^2[/tex]. Vi bytter altså ut [tex]x^2[/tex] med [tex]y^4[/tex].

Grunnen til at vi ønsker dette er at vi integrerer med hensyn på y, så da bør også uttrykket inne i integralet være en funksjon av y