integrasjon

[stimorolextra]

Oppgave 6.204 i sinus R2 2016-versjon:

"FIguren viser et flatestykke som er avgrenset av y-aksen, linjen y=2 og grafen f(x)=[tex]\sqrt{x}[/tex]

a) finn volum når vi dreier 360grader om x-aksen
b) finn volum når vi dreier 360grader om y-aksen.

Jeg har aldri vært borti grafer som har vært avgrenset av en y-akse før.... Hvordan gjør man det!? Jeg skjønner ingenting, blir feil svar når jeg regner på vanlig måte ved å ta pi*integralet av (f(x))^2. Da får jeg jo volumet av det mellom x-aksen og grafen, men jeg vil jo ha volumet av det skraverte området. Grafen skjærer y når x=4.
Kan jeg da ta volum av hele minus volum av det under grafen?

[Janhaa]

b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]

[stimorolextra]

b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]

Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?

[Aleks855]

b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]

Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?

$y = \sqrt x \Rightarrow y^2 = x \Rightarrow y^4 = x^2$

Så når han skriver $\int x^2 \mathrm dy$ så er det det samme som $\int y^4 \mathrm dy = \frac{y^5}{5}+ C$ med påfølgende regning siden ditt integral er bestemt.

[stimorolextra]

b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]

Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?

$y = \sqrt x \Rightarrow y^2 = x \Rightarrow y^4 = x^2$

Så når han skriver $\int x^2 \mathrm dy$ så er det det samme som $\int y^4 \mathrm dy = \frac{y^5}{5}+ C$ med påfølgende regning siden ditt integral er bestemt.

Men hvorfor y^4???

[sibbefrasandnes]

Hvorfor y^4?

[geheffe]

Hvorfor y^4?

Siden [tex]y = f(x) = \sqrt{x}[/tex] blir [tex]y^4 = x^2[/tex]. Vi bytter altså ut [tex]x^2[/tex] med [tex]y^4[/tex].

Grunnen til at vi ønsker dette er at vi integrerer med hensyn på y, så da bør også uttrykket inne i integralet være en funksjon av y

[Lamster24]

Hvorfor y^4?

Siden [tex]y = f(x) = \sqrt{x}[/tex] blir [tex]y^4 = x^2[/tex]. Vi bytter altså ut [tex]x^2[/tex] med [tex]y^4[/tex].

Grunnen til at vi ønsker dette er at vi integrerer med hensyn på y, så da bør også uttrykket inne i integralet være en funksjon av y

Hvorfor blir det x^2 til å begynne med?

Vil det si at volumet når det dreier rundt y-aksen alltid er ((f(x))^2)^2?
Altså ettersom at y = f(x) = x^(1/2)

[Aleks855]

Hvorfor y^4?

Siden [tex]y = f(x) = \sqrt{x}[/tex] blir [tex]y^4 = x^2[/tex]. Vi bytter altså ut [tex]x^2[/tex] med [tex]y^4[/tex].

Grunnen til at vi ønsker dette er at vi integrerer med hensyn på y, så da bør også uttrykket inne i integralet være en funksjon av y

Hvorfor blir det x^2 til å begynne med?

Vil det si at volumet når det dreier rundt y-aksen alltid er ((f(x))^2)^2?
Altså ettersom at y = f(x) = x^(1/2)

Nei, det blir ikke helt rett. Det Janhaa gjør i det første svaret er å invertere funksjonen slik at man kan bruke samme metode som når man dreier rundt x-aksen.

Den inverse funksjonen av $\sqrt x$ er $x^2$, og du kan se på det som å bytte om på x- og y-aksen etter dette, og bruke den vanlige metoden du ville brukt for å finne volumet av omdreiningslegemet rundt x-aksen.

[Lamster24]

Hvorfor blir det x^2 til å begynne med?

Vil det si at volumet når det dreier rundt y-aksen alltid er ((f(x))^2)^2?
Altså ettersom at y = f(x) = x^(1/2)[/quote]

Nei, det blir ikke helt rett. Det Janhaa gjør i det første svaret er å invertere funksjonen slik at man kan bruke samme metode som når man dreier rundt x-aksen.

Den inverse funksjonen av $\sqrt x$ er $x^2$, og du kan se på det som å bytte om på x- og y-aksen etter dette, og bruke den vanlige metoden du ville brukt for å finne volumet av omdreiningslegemet rundt x-aksen.[/quote]


Takk for raskt svar! Da gir det mening

x^(1/2) blir x^(2/1), som igjen er x^2

[Aleks855]

x^(1/2) blir x^(2/1)

Tilfeldigvis, ja. Men det er ikke en pålitelig måte å invertere en funksjon på.

Mer generelt har vi opprinnelig funksjonen $y = \sqrt x$, og ønsker å få $x$ på én side. Opphøyer begge sider i $2$, og får $x = y^2$. Bytter vi nå om på variablene, får vi den inverse funksjonen $y = x^2$.