integrasjon

[stimorolextra]

Oppgave 6.204 i sinus R2 2016-versjon:

"FIguren viser et flatestykke som er avgrenset av y-aksen, linjen y=2 og grafen f(x)=$\sqrt{x}$

a) finn volum når vi dreier 360grader om x-aksen
b) finn volum når vi dreier 360grader om y-aksen.

Jeg har aldri vært borti grafer som har vært avgrenset av en y-akse før.... Hvordan gjør man det!? Jeg skjønner ingenting, blir feil svar når jeg regner på vanlig måte ved å ta pi*integralet av (f(x))^2. Da får jeg jo volumet av det mellom x-aksen og grafen, men jeg vil jo ha volumet av det skraverte området. Grafen skjærer y når x=4.
Kan jeg da ta volum av hele minus volum av det under grafen?

[Janhaa]

b)
$V_y=\pi {\int }_0^2{x}^{2}dy=\pi {\int }_0^2{y}^{4}dy$

[stimorolextra]

b)
$V_y=\pi {\int }_0^2{x}^{2}dy=\pi {\int }_0^2{y}^{4}dy$

Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?

[Aleks855]

b)
$V_y=\pi {\int }_0^2{x}^{2}dy=\pi {\int }_0^2{y}^{4}dy$

Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?

$y=\sqrt{x}\Rightarrow y^2=x\Rightarrow y^4=x^2$

Så når han skriver $\int x^2\mathrm{d}y$ så er det det samme som $\int y^4\mathrm{d}y=\frac{y^5}{5}+C$ med påfølgende regning siden ditt integral er bestemt.

[stimorolextra]

b)
$V_y=\pi {\int }_0^2{x}^{2}dy=\pi {\int }_0^2{y}^{4}dy$

Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?

$y=\sqrt{x}\Rightarrow y^2=x\Rightarrow y^4=x^2$

Så når han skriver $\int x^2\mathrm{d}y$ så er det det samme som $\int y^4\mathrm{d}y=\frac{y^5}{5}+C$ med påfølgende regning siden ditt integral er bestemt.

Men hvorfor y^4???

[sibbefrasandnes]

Hvorfor y^4?

[geheffe]

Hvorfor y^4?

Siden $y=f(x)=\sqrt{x}$ blir $y^4=x^2$. Vi bytter altså ut $x^2$ med $y^4$.

Grunnen til at vi ønsker dette er at vi integrerer med hensyn på y, så da bør også uttrykket inne i integralet være en funksjon av y

[Lamster24]

Hvorfor y^4?

Siden $y=f(x)=\sqrt{x}$ blir $y^4=x^2$. Vi bytter altså ut $x^2$ med $y^4$.

Grunnen til at vi ønsker dette er at vi integrerer med hensyn på y, så da bør også uttrykket inne i integralet være en funksjon av y

Hvorfor blir det x^2 til å begynne med?

Vil det si at volumet når det dreier rundt y-aksen alltid er ((f(x))^2)^2?
Altså ettersom at y = f(x) = x^(1/2)

[Aleks855]

Hvorfor y^4?

Siden $y=f(x)=\sqrt{x}$ blir $y^4=x^2$. Vi bytter altså ut $x^2$ med $y^4$.

Grunnen til at vi ønsker dette er at vi integrerer med hensyn på y, så da bør også uttrykket inne i integralet være en funksjon av y

Hvorfor blir det x^2 til å begynne med?

Vil det si at volumet når det dreier rundt y-aksen alltid er ((f(x))^2)^2?
Altså ettersom at y = f(x) = x^(1/2)

Nei, det blir ikke helt rett. Det Janhaa gjør i det første svaret er å invertere funksjonen slik at man kan bruke samme metode som når man dreier rundt x-aksen.

Den inverse funksjonen av $\sqrt{x}$ er $x^2$, og du kan se på det som å bytte om på x- og y-aksen etter dette, og bruke den vanlige metoden du ville brukt for å finne volumet av omdreiningslegemet rundt x-aksen.

[Lamster24]

Hvorfor blir det x^2 til å begynne med?

Vil det si at volumet når det dreier rundt y-aksen alltid er ((f(x))^2)^2?
Altså ettersom at y = f(x) = x^(1/2)[/quote]

Nei, det blir ikke helt rett. Det Janhaa gjør i det første svaret er å invertere funksjonen slik at man kan bruke samme metode som når man dreier rundt x-aksen.

Den inverse funksjonen av $\sqrt{x}$ er $x^2$, og du kan se på det som å bytte om på x- og y-aksen etter dette, og bruke den vanlige metoden du ville brukt for å finne volumet av omdreiningslegemet rundt x-aksen.[/quote]


Takk for raskt svar! Da gir det mening

x^(1/2) blir x^(2/1), som igjen er x^2

[Aleks855]

x^(1/2) blir x^(2/1)

Tilfeldigvis, ja. Men det er ikke en pålitelig måte å invertere en funksjon på.

Mer generelt har vi opprinnelig funksjonen $y=\sqrt{x}$, og ønsker å få $x$ på én side. Opphøyer begge sider i $2$, og får $x=y^2$. Bytter vi nå om på variablene, får vi den inverse funksjonen $y=x^2$.