Prøver å vise at [tex]sin z = {{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}} \over {2i}}[/tex], ved hjelp av eulers formel.
Men greier ikke helt å starte.
noen tips?
Kompleks trigonometri
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
blei litt usikker på svaret mitt. føler at jeg viser dette noenlunde baklengs:
[tex]{e^{iz}} = \cos z + i\sin z[/tex]
[tex]{e^{ - iz}} = \cos z - \sin z[/tex]
[tex]{e^{iz}} - {e^{ - iz}} = (\cos z + i\sin z) - (\cos z - i\sin z)[/tex]
[tex]2i\sin z = {e^{iz}} - {e^{ - iz}}[/tex]
[tex]\sin z = {{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}} \over {2i}}[/tex]
er det et tilfredstillende svar på oppgaven, eller burde jeg gå fram en annen vei?
[tex]{e^{iz}} = \cos z + i\sin z[/tex]
[tex]{e^{ - iz}} = \cos z - \sin z[/tex]
[tex]{e^{iz}} - {e^{ - iz}} = (\cos z + i\sin z) - (\cos z - i\sin z)[/tex]
[tex]2i\sin z = {e^{iz}} - {e^{ - iz}}[/tex]
[tex]\sin z = {{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}} \over {2i}}[/tex]
er det et tilfredstillende svar på oppgaven, eller burde jeg gå fram en annen vei?
ny oppgave, nytt spørsmål:
skal finne:
[tex]\sin ({z_1} + {z_2})[/tex]
[tex]\cos ({z_1} + {z_2})[/tex]
starter med:
[tex]{e^{i({z_1} + {z_2})}} = \cos ({z_1} + {z_2}) + i\sin ({z_1} + {z_2})[/tex]
[tex]{e^{i({z_1} + {z_2})}} = {e^{i{z_1}}} \cdot {e^{i{z_2}}} = (\cos ({z_1}) + i\sin ({z_1})i\sin ({z_1})) \cdot (\cos ({z_2}) + i\sin ({z_2}))[/tex]
og ender opp med:
[tex]\cos ({z_1} + {z_2}) + i\sin ({z_1} + {z_2}) = (\cos ({z_1})\cos ({z_2}) - \sin ({z_1})\sin ({z_2})) + i(\sin ({z_1})\cos ({z_2}) + \cos ({z_1})\sin ({z_2}))[/tex]
hva nå? kan jeg gjøre det så enkelt at jeg kan isolere realdel og imaginærdel hver for seg. Da sitter jeg igjen med svaret, men jeg tør ikke
skal finne:
[tex]\sin ({z_1} + {z_2})[/tex]
[tex]\cos ({z_1} + {z_2})[/tex]
starter med:
[tex]{e^{i({z_1} + {z_2})}} = \cos ({z_1} + {z_2}) + i\sin ({z_1} + {z_2})[/tex]
[tex]{e^{i({z_1} + {z_2})}} = {e^{i{z_1}}} \cdot {e^{i{z_2}}} = (\cos ({z_1}) + i\sin ({z_1})i\sin ({z_1})) \cdot (\cos ({z_2}) + i\sin ({z_2}))[/tex]
og ender opp med:
[tex]\cos ({z_1} + {z_2}) + i\sin ({z_1} + {z_2}) = (\cos ({z_1})\cos ({z_2}) - \sin ({z_1})\sin ({z_2})) + i(\sin ({z_1})\cos ({z_2}) + \cos ({z_1})\sin ({z_2}))[/tex]
hva nå? kan jeg gjøre det så enkelt at jeg kan isolere realdel og imaginærdel hver for seg. Da sitter jeg igjen med svaret, men jeg tør ikke
Ja, du kan ta realdelen og imaginærdelen hver for seg, for et komplekst tall [tex]z_1[/tex] er likt et "annet" komplekst tall [tex]z_2[/tex] hvis og bare hvis realdelen og imaginærdelen i begge tallene er like. [tex]a+ib=c+id \Leftrightarrow a=c \text{ og } b=d[/tex]
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)