Kompleks trigonometri

[alibi]

Prøver å vise at [tex]sin z = {{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}} \over {2i}}[/tex], ved hjelp av eulers formel.
Men greier ikke helt å starte.

noen tips?

[alibi]

greide den

[alibi]

blei litt usikker på svaret mitt. føler at jeg viser dette noenlunde baklengs:

[tex]{e^{iz}} = \cos z + i\sin z[/tex]

[tex]{e^{ - iz}} = \cos z - \sin z[/tex]


[tex]{e^{iz}} - {e^{ - iz}} = (\cos z + i\sin z) - (\cos z - i\sin z)[/tex]

[tex]2i\sin z = {e^{iz}} - {e^{ - iz}}[/tex]

[tex]\sin z = {{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}} \over {2i}}[/tex]


er det et tilfredstillende svar på oppgaven, eller burde jeg gå fram en annen vei?

[moth]

Det står jo at du skal bruke Eulers formel så det er jo ikke bakvendt.

[alibi]

ny oppgave, nytt spørsmål:

skal finne:

[tex]\sin ({z_1} + {z_2})[/tex]
[tex]\cos ({z_1} + {z_2})[/tex]

starter med:

[tex]{e^{i({z_1} + {z_2})}} = \cos ({z_1} + {z_2}) + i\sin ({z_1} + {z_2})[/tex]

[tex]{e^{i({z_1} + {z_2})}} = {e^{i{z_1}}} \cdot {e^{i{z_2}}} = (\cos ({z_1}) + i\sin ({z_1})i\sin ({z_1})) \cdot (\cos ({z_2}) + i\sin ({z_2}))[/tex]


og ender opp med:

[tex]\cos ({z_1} + {z_2}) + i\sin ({z_1} + {z_2}) = (\cos ({z_1})\cos ({z_2}) - \sin ({z_1})\sin ({z_2})) + i(\sin ({z_1})\cos ({z_2}) + \cos ({z_1})\sin ({z_2}))[/tex]

hva nå? kan jeg gjøre det så enkelt at jeg kan isolere realdel og imaginærdel hver for seg. Da sitter jeg igjen med svaret, men jeg tør ikke

[FredrikM]

Ja, du kan ta realdelen og imaginærdelen hver for seg, for et komplekst tall [tex]z_1[/tex] er likt et "annet" komplekst tall [tex]z_2[/tex] hvis og bare hvis realdelen og imaginærdelen i begge tallene er like. [tex]a+ib=c+id \Leftrightarrow a=c \text{ og } b=d[/tex]