Aritmetikkens fundamentalteorem

[Determined]

Vi lar N = p_1*p_2*...*p_m og N = q_1*q_2*...*q_n være to forskjellige primtallsfaktoriseringer av N.

Vis at alle p-ene er forskjellige fra alle q-ene.

(Dette er ikke hele beviset for aritmetikkens fundamentalteorem selvsagt, men et ledd for å bevise det.)

Vli gjerne ha noen tips. Men ingen fullstendig løsning...

[Vektormannen]

Uhm, antar du mener å vise at alle p-ene må være lik q-ene? (Altså at det bare finnes én unik faktorisering.)

De to faktoriseringene er begge lik N. Vi vet da at f.eks. [tex]p_1[/tex] deler N, og da må [tex]p_1[/tex] dele produktet av alle q-ene. I definisjonen av primtall ligger det at bare 1 og tallet selv skal være en faktor. Hva kan du da slutte om en av q-ene i produktet, og hva kan du da gjøre?

[Determined]

Nei, det jeg skal vise er at _hvis_ disse to primtallsfaktoriseringene er forskjellige, så er også alle p'ene og 'ene forskjellige fra hverandre.

[Brahmagupta]

Jeg løste denne i fjor og synes å huske at det blir gjort en antakelse tidligere i oppgaven om at at N er det minste tallet med to forskjellige primtallsfaktoriseringer.

Hvis en p er lik en q vil det jo motsi denne antakelsen. Hvorfor?

[Determined]

Hvis en p er lik en q, og dette tallet kalles a, så vil N/a = p_1*...*p_m = q_1*...*q_m fortsatt ha ulik primtallsfaktorisering (da p'n er lik q'en), men dette er en selvmotsigelse da N var det minste tallet med ulik primtallsfaktoringer.

Takker! Kommer helt sikkert med flere spørsmål senere!