Vi lar N = p_1*p_2*...*p_m og N = q_1*q_2*...*q_n være to forskjellige primtallsfaktoriseringer av N.
Vis at alle p-ene er forskjellige fra alle q-ene.
(Dette er ikke hele beviset for aritmetikkens fundamentalteorem selvsagt, men et ledd for å bevise det.)
Vli gjerne ha noen tips. Men ingen fullstendig løsning...
Aritmetikkens fundamentalteorem
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Uhm, antar du mener å vise at alle p-ene må være lik q-ene? (Altså at det bare finnes én unik faktorisering.)
De to faktoriseringene er begge lik N. Vi vet da at f.eks. [tex]p_1[/tex] deler N, og da må [tex]p_1[/tex] dele produktet av alle q-ene. I definisjonen av primtall ligger det at bare 1 og tallet selv skal være en faktor. Hva kan du da slutte om en av q-ene i produktet, og hva kan du da gjøre?
De to faktoriseringene er begge lik N. Vi vet da at f.eks. [tex]p_1[/tex] deler N, og da må [tex]p_1[/tex] dele produktet av alle q-ene. I definisjonen av primtall ligger det at bare 1 og tallet selv skal være en faktor. Hva kan du da slutte om en av q-ene i produktet, og hva kan du da gjøre?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
- Dirichlet
- Innlegg: 194
- Registrert: 25/01-2013 17:58
Nei, det jeg skal vise er at _hvis_ disse to primtallsfaktoriseringene er forskjellige, så er også alle p'ene og 'ene forskjellige fra hverandre.
-
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Jeg løste denne i fjor og synes å huske at det blir gjort en antakelse tidligere i oppgaven om at at N er det minste tallet med to forskjellige primtallsfaktoriseringer.
Hvis en p er lik en q vil det jo motsi denne antakelsen. Hvorfor?
Hvis en p er lik en q vil det jo motsi denne antakelsen. Hvorfor?
-
- Dirichlet
- Innlegg: 194
- Registrert: 25/01-2013 17:58
Hvis en p er lik en q, og dette tallet kalles a, så vil N/a = p_1*...*p_m = q_1*...*q_m fortsatt ha ulik primtallsfaktorisering (da p'n er lik q'en), men dette er en selvmotsigelse da N var det minste tallet med ulik primtallsfaktoringer.
Takker! Kommer helt sikkert med flere spørsmål senere!
Takker! Kommer helt sikkert med flere spørsmål senere!