Korteste avstand fra linje til punkt.

[eigard]

Hvordan kan jeg finne korteste avstanden fra ett punkt p(x,y,z)
til en parametrisert linje?
Vil gjerne ha en generell forklaring, men her er ett eksempel:
p(-4, 8 ,3) L=[x= -11+t, y= 7-t, z= t].

[Terminator]

Linjen l er gitt med parameterfremstillingen
x = -11 + t
y = 7-t
z = t


P(-4,8,3)

Et punkt p på linjen oppfyller ligningen
x = -11 + t
y = 7-t
z = t

P(-4,8,3)


pP vektor = [(-4-(-11+t), 8-(7-t), 3-t] = [-15-t,1+t,3-t]

Lengden er da gitt som [symbol:rot] (((-15-t)^2)+((1+t)^2)+((3-t)^2))

Men du ønsker å finne den minste lengden av pP vektor. Ser vi på lengdefunksjonen l(X) =[symbol:rot] (((-15-t)^2)+((1+t)^2)+((3-t)^2))

Ønsker du altså å finne ut når l'(X) = 0. For den t verdien l'(x) = 0, er vektoren minst, ergo avstanden kortest

[daofeishi]

Vi trenger ikke benytte oss av dervasjonsregning. Jeg tror dette er vel så greit.

Vi har punktet og linjen

[tex]P(-4, \ 8, \ 3) \\ \vec{r} = \left( \begin{array}{c}-11 \\ 7 \\ 0 \end{array} \right) + t\left( \begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)[/tex]

Dermed kan vi konstruere en vektor d fra punktet P til linjen r som en funksjon av parameteren t:

[tex]\vec d = \left( \begin{array}{c}-11 + t\\ 7 - t \\ t \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}-4 \\ 8 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}-7+t \\ -1-t \\ -3+t \end{array} \right)[/tex]

Nå kan vi benytte oss av at det korteste linjestykket fra P til r står normalt på r. Dermed vet vi at skalarproduktet av d og retningsvektoren til r er 0:

[tex]\left( \begin{array}{c}-7+t \\ -1-t \\ -3+t \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) = 3t -9 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad t = 3[/tex]

Dermed blir korteste vektor mellom P og r
[tex]\left( \begin{array}{c}-7+3 \\ -1-3 \\ -3+3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}-4 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right)[/tex]

Og korteste avstand:
[tex]\left| \left( \begin{array}{c}-4 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right) \right| = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}[/tex]

[Terminator]

En fortegnsfeil i svaret mitt!

I(x) = [symbol:rot] ((7-t)^2 + (1+t)^2 + (3-t)^2)