Korteste avstand fra linje til punkt.

[eigard]

Hvordan kan jeg finne korteste avstanden fra ett punkt p(x,y,z)
til en parametrisert linje?
Vil gjerne ha en generell forklaring, men her er ett eksempel:
p(-4, 8 ,3) L=[x= -11+t, y= 7-t, z= t].

[Terminator]

Linjen l er gitt med parameterfremstillingen
x = -11 + t
y = 7-t
z = t


P(-4,8,3)

Et punkt p på linjen oppfyller ligningen
x = -11 + t
y = 7-t
z = t

P(-4,8,3)


pP vektor = [(-4-(-11+t), 8-(7-t), 3-t] = [-15-t,1+t,3-t]

Lengden er da gitt som [symbol:rot] (((-15-t)^2)+((1+t)^2)+((3-t)^2))

Men du ønsker å finne den minste lengden av pP vektor. Ser vi på lengdefunksjonen l(X) =[symbol:rot] (((-15-t)^2)+((1+t)^2)+((3-t)^2))

Ønsker du altså å finne ut når l'(X) = 0. For den t verdien l'(x) = 0, er vektoren minst, ergo avstanden kortest

[daofeishi]

Vi trenger ikke benytte oss av dervasjonsregning. Jeg tror dette er vel så greit.

Vi har punktet og linjen

$$\begin{gathered} P(-4,8,3) \\ \overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}-11\\ 7\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

Dermed kan vi konstruere en vektor d fra punktet P til linjen r som en funksjon av parameteren t:

$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}-11+t\\ 7-t\\ t\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7+t\\ -1-t\\ -3+t\end{array}\right)$

Nå kan vi benytte oss av at det korteste linjestykket fra P til r står normalt på r. Dermed vet vi at skalarproduktet av d og retningsvektoren til r er 0:

$\left(\begin{array}{c}-7+t\\ -1-t\\ -3+t\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)=3t-9=0\Rightarrow t=3$

Dermed blir korteste vektor mellom P og r
$\left(\begin{array}{c}-7+3\\ -1-3\\ -3+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$

Og korteste avstand:
$\left|\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 0\end{array}\right)\right|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$

[Terminator]

En fortegnsfeil i svaret mitt!

I(x) = [symbol:rot] ((7-t)^2 + (1+t)^2 + (3-t)^2)