Hvordan kan jeg finne korteste avstanden fra ett punkt p(x,y,z)
til en parametrisert linje?
Vil gjerne ha en generell forklaring, men her er ett eksempel:
p(-4, 8 ,3) L=[x= -11+t, y= 7-t, z= t].
Korteste avstand fra linje til punkt.
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Cayley
- Innlegg: 94
- Registrert: 13/10-2006 22:30
Linjen l er gitt med parameterfremstillingen
x = -11 + t
y = 7-t
z = t
P(-4,8,3)
Et punkt p på linjen oppfyller ligningen
x = -11 + t
y = 7-t
z = t
P(-4,8,3)
pP vektor = [(-4-(-11+t), 8-(7-t), 3-t] = [-15-t,1+t,3-t]
Lengden er da gitt som [symbol:rot] (((-15-t)^2)+((1+t)^2)+((3-t)^2))
Men du ønsker å finne den minste lengden av pP vektor. Ser vi på lengdefunksjonen l(X) =[symbol:rot] (((-15-t)^2)+((1+t)^2)+((3-t)^2))
Ønsker du altså å finne ut når l'(X) = 0. For den t verdien l'(x) = 0, er vektoren minst, ergo avstanden kortest
x = -11 + t
y = 7-t
z = t
P(-4,8,3)
Et punkt p på linjen oppfyller ligningen
x = -11 + t
y = 7-t
z = t
P(-4,8,3)
pP vektor = [(-4-(-11+t), 8-(7-t), 3-t] = [-15-t,1+t,3-t]
Lengden er da gitt som [symbol:rot] (((-15-t)^2)+((1+t)^2)+((3-t)^2))
Men du ønsker å finne den minste lengden av pP vektor. Ser vi på lengdefunksjonen l(X) =[symbol:rot] (((-15-t)^2)+((1+t)^2)+((3-t)^2))
Ønsker du altså å finne ut når l'(X) = 0. For den t verdien l'(x) = 0, er vektoren minst, ergo avstanden kortest
Vi trenger ikke benytte oss av dervasjonsregning. Jeg tror dette er vel så greit.
Vi har punktet og linjen
[tex]P(-4, \ 8, \ 3) \\ \vec{r} = \left( \begin{array}{c}-11 \\ 7 \\ 0 \end{array} \right) + t\left( \begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)[/tex]
Dermed kan vi konstruere en vektor d fra punktet P til linjen r som en funksjon av parameteren t:
[tex]\vec d = \left( \begin{array}{c}-11 + t\\ 7 - t \\ t \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}-4 \\ 8 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}-7+t \\ -1-t \\ -3+t \end{array} \right)[/tex]
Nå kan vi benytte oss av at det korteste linjestykket fra P til r står normalt på r. Dermed vet vi at skalarproduktet av d og retningsvektoren til r er 0:
[tex]\left( \begin{array}{c}-7+t \\ -1-t \\ -3+t \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) = 3t -9 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad t = 3[/tex]
Dermed blir korteste vektor mellom P og r
[tex]\left( \begin{array}{c}-7+3 \\ -1-3 \\ -3+3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}-4 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right)[/tex]
Og korteste avstand:
[tex]\left| \left( \begin{array}{c}-4 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right) \right| = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}[/tex]
Vi har punktet og linjen
[tex]P(-4, \ 8, \ 3) \\ \vec{r} = \left( \begin{array}{c}-11 \\ 7 \\ 0 \end{array} \right) + t\left( \begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)[/tex]
Dermed kan vi konstruere en vektor d fra punktet P til linjen r som en funksjon av parameteren t:
[tex]\vec d = \left( \begin{array}{c}-11 + t\\ 7 - t \\ t \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}-4 \\ 8 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}-7+t \\ -1-t \\ -3+t \end{array} \right)[/tex]
Nå kan vi benytte oss av at det korteste linjestykket fra P til r står normalt på r. Dermed vet vi at skalarproduktet av d og retningsvektoren til r er 0:
[tex]\left( \begin{array}{c}-7+t \\ -1-t \\ -3+t \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) = 3t -9 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad t = 3[/tex]
Dermed blir korteste vektor mellom P og r
[tex]\left( \begin{array}{c}-7+3 \\ -1-3 \\ -3+3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}-4 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right)[/tex]
Og korteste avstand:
[tex]\left| \left( \begin{array}{c}-4 \\ -4 \\ 0 \end{array} \right) \right| = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}[/tex]
-
- Cayley
- Innlegg: 94
- Registrert: 13/10-2006 22:30
En fortegnsfeil i svaret mitt!
I(x) = [symbol:rot] ((7-t)^2 + (1+t)^2 + (3-t)^2)
I(x) = [symbol:rot] ((7-t)^2 + (1+t)^2 + (3-t)^2)