Steg for steg

[mikki155]

Et steg jeg ikke helt skjønner fra forelesningsnotatene:

[tex]3cos2t - sin2t = Re((3+i)e^{i2t})[/tex]

Den delen er jeg med på, men så kommer noe jeg ikke helt forstår:

[tex]Re((3+i)e^{i2t}) = Re(e^{i \phi}|3+i|e^{i2t})[/tex]

Her faller jeg litt av, og foreleseren gav ingen forklaring på dette (vanlig at han hopper over "trivielle" mellomregninger). Jeg er ganske sikker på at [tex]|3+i|[/tex] er modulusen, og selvsagt er [tex]e^{i2t} = cos2t + isin2t[/tex].

Men så mye mer enn dette klarer jeg ikke å få ut av det, annet enn at [tex]\phi[/tex] skal være faseforskyvningsvinkelen.

[Kork]

Det er alltid slik at [tex]z = \left| z \right|{e^{i\theta }}[/tex] der [tex]\theta[/tex] er vinkelen mellom x aksen og z i det kartesiske planet.
Så i ditt eksempel er [tex]\theta[/tex] vinkelen mellom x aksen og 3+i.


Identiteten eg viste til kommer av at

[tex]\eqalign{ & z = \left| z \right|\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right) \cr & {e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \cr}[/tex]

[Gustav]

Man kan tenke på faktoren $e^{-i\theta}$ som en rotasjon med klokka en vinkel $\theta$, om origo i det komplekse plan. Det er da geometrisk klart at ethvert komplekst tall z=a+ib kan roteres tilbake til den positive delen av den reelle aksen ved å multiplisere med $e^{-i\theta}z$ for en passende vinkel. Siden rotasjon om origo bevarer absoluttverdien til tallet, vil det eksistere en $\theta$ slik at $|z|=ze^{-i\theta}$, altså er $z=|z|e^{i\theta}$.

[mikki155]

Takk, jeg skjønner den delen bedre nå. Men jeg er fortsatt litt usikker på hvorfor [tex]Re(e^{i \phi}z) = 3cos2t - sin2t[/tex].

Det jeg spør om, er vel hvorfor den faseforskyvningen fører til at den reelle delen er lik uttryket på høyre side. Med andre ord, hvorfor har man "lov" til å multiplisere med [tex]e^{i \phi}[/tex]?

[Gustav]

[tex]3cos2t - sin2t = Re((3+i)e^{i2t})[/tex]

Generelt er $Re(z_1+z_2)=Re(z_1)+Re(z_2)$,

$Re(3e^{i2t})=3\cos (2t)$ og $Re(ie^{2ti}) = -Im(e^{i2t}) = -\sin(2t)$

[mikki155]

Det forklarer vel ikke hvorfor [tex]Re(e^{i \phi}z) = 3cos2t - sin2t[/tex], som var det jeg lurte på?

Jeg skjønner hvorfor [tex]3cos2t - sin2t = Re((3+i)e^{i2t})[/tex], det er ikke noe problem. Litt lett å blingse her, kanskje

[Gustav]

Du vet jo at

[tex]3cos2t - sin2t = Re((3+i)e^{i2t})[/tex]

og som vi har forklart nettopp, er

[tex]Re((3+i)e^{i2t}) = Re(e^{i \phi}|3+i|e^{i2t})[/tex].

Altså følger likheten du lurer på, hvis jeg har forstått det riktig.

[mikki155]

Arrh, lol, nå ser jeg det

Mange takk for å ha holdt ut med den slitne hjernen min ^^