Et steg jeg ikke helt skjønner fra forelesningsnotatene:
[tex]3cos2t - sin2t = Re((3+i)e^{i2t})[/tex]
Den delen er jeg med på, men så kommer noe jeg ikke helt forstår:
[tex]Re((3+i)e^{i2t}) = Re(e^{i \phi}|3+i|e^{i2t})[/tex]
Her faller jeg litt av, og foreleseren gav ingen forklaring på dette (vanlig at han hopper over "trivielle" mellomregninger). Jeg er ganske sikker på at [tex]|3+i|[/tex] er modulusen, og selvsagt er [tex]e^{i2t} = cos2t + isin2t[/tex].
Men så mye mer enn dette klarer jeg ikke å få ut av det, annet enn at [tex]\phi[/tex] skal være faseforskyvningsvinkelen.
Steg for steg
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det er alltid slik at [tex]z = \left| z \right|{e^{i\theta }}[/tex] der [tex]\theta[/tex] er vinkelen mellom x aksen og z i det kartesiske planet.
Så i ditt eksempel er [tex]\theta[/tex] vinkelen mellom x aksen og 3+i.
Identiteten eg viste til kommer av at
[tex]\eqalign{ & z = \left| z \right|\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right) \cr & {e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \cr}[/tex]
Så i ditt eksempel er [tex]\theta[/tex] vinkelen mellom x aksen og 3+i.
Identiteten eg viste til kommer av at
[tex]\eqalign{ & z = \left| z \right|\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right) \cr & {e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \cr}[/tex]
Mathematics is the gate and key to the sciences.
Man kan tenke på faktoren $e^{-i\theta}$ som en rotasjon med klokka en vinkel $\theta$, om origo i det komplekse plan. Det er da geometrisk klart at ethvert komplekst tall z=a+ib kan roteres tilbake til den positive delen av den reelle aksen ved å multiplisere med $e^{-i\theta}z$ for en passende vinkel. Siden rotasjon om origo bevarer absoluttverdien til tallet, vil det eksistere en $\theta$ slik at $|z|=ze^{-i\theta}$, altså er $z=|z|e^{i\theta}$.
Takk, jeg skjønner den delen bedre nå. Men jeg er fortsatt litt usikker på hvorfor [tex]Re(e^{i \phi}z) = 3cos2t - sin2t[/tex].
Det jeg spør om, er vel hvorfor den faseforskyvningen fører til at den reelle delen er lik uttryket på høyre side. Med andre ord, hvorfor har man "lov" til å multiplisere med [tex]e^{i \phi}[/tex]?
Det jeg spør om, er vel hvorfor den faseforskyvningen fører til at den reelle delen er lik uttryket på høyre side. Med andre ord, hvorfor har man "lov" til å multiplisere med [tex]e^{i \phi}[/tex]?
Fysikk og matematikk (MTFYMA, Sivilingeniør/Master 5-årig) ved NTNU
Det forklarer vel ikke hvorfor [tex]Re(e^{i \phi}z) = 3cos2t - sin2t[/tex], som var det jeg lurte på?
Jeg skjønner hvorfor [tex]3cos2t - sin2t = Re((3+i)e^{i2t})[/tex], det er ikke noe problem. Litt lett å blingse her, kanskje![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Jeg skjønner hvorfor [tex]3cos2t - sin2t = Re((3+i)e^{i2t})[/tex], det er ikke noe problem. Litt lett å blingse her, kanskje
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Fysikk og matematikk (MTFYMA, Sivilingeniør/Master 5-årig) ved NTNU