Steg for steg

[mikki155]

Et steg jeg ikke helt skjønner fra forelesningsnotatene:

$3cos2t-sin2t=Re((3+i)e^{i2t})$

Den delen er jeg med på, men så kommer noe jeg ikke helt forstår:

$Re((3+i)e^{i2t})=Re(e^{i\varphi }|3+i|e^{i2t})$

Her faller jeg litt av, og foreleseren gav ingen forklaring på dette (vanlig at han hopper over "trivielle" mellomregninger). Jeg er ganske sikker på at $|3+i|$ er modulusen, og selvsagt er $e^{i2t}=cos2t+isin2t$.

Men så mye mer enn dette klarer jeg ikke å få ut av det, annet enn at $\varphi$ skal være faseforskyvningsvinkelen.

[Kork]

Det er alltid slik at $z=\left|z\right|e^{i\theta }$ der $\theta$ er vinkelen mellom x aksen og z i det kartesiske planet.
Så i ditt eksempel er $\theta$ vinkelen mellom x aksen og 3+i.


Identiteten eg viste til kommer av at

$\begin{array}{rl}& z=\left|z\right|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\\ & e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \end{array}$

[Gustav]

Man kan tenke på faktoren $e^{-i\theta }$ som en rotasjon med klokka en vinkel $\theta$, om origo i det komplekse plan. Det er da geometrisk klart at ethvert komplekst tall z=a+ib kan roteres tilbake til den positive delen av den reelle aksen ved å multiplisere med $e^{-i\theta }z$ for en passende vinkel. Siden rotasjon om origo bevarer absoluttverdien til tallet, vil det eksistere en $\theta$ slik at $|z|=z{e}^{-i\theta }$, altså er $z=|z|e^{i\theta }$.

[mikki155]

Takk, jeg skjønner den delen bedre nå. Men jeg er fortsatt litt usikker på hvorfor $Re(e^{i\varphi }z)=3cos2t-sin2t$.

Det jeg spør om, er vel hvorfor den faseforskyvningen fører til at den reelle delen er lik uttryket på høyre side. Med andre ord, hvorfor har man "lov" til å multiplisere med $e^{i\varphi }$?

[Gustav]

$3cos2t-sin2t=Re((3+i)e^{i2t})$

Generelt er $Re(z_1+z_2)=Re(z_1)+Re(z_2)$,

$Re(3e^{i2t})=3\cos (2t)$ og $Re(i{e}^{2ti})=-Im(e^{i2t})=-\sin (2t)$

[mikki155]

Det forklarer vel ikke hvorfor $Re(e^{i\varphi }z)=3cos2t-sin2t$, som var det jeg lurte på?

Jeg skjønner hvorfor $3cos2t-sin2t=Re((3+i)e^{i2t})$, det er ikke noe problem. Litt lett å blingse her, kanskje

[Gustav]

Du vet jo at

$3cos2t-sin2t=Re((3+i)e^{i2t})$

og som vi har forklart nettopp, er

$Re((3+i)e^{i2t})=Re(e^{i\varphi }|3+i|e^{i2t})$.

Altså følger likheten du lurer på, hvis jeg har forstått det riktig.

[mikki155]

Arrh, lol, nå ser jeg det

Mange takk for å ha holdt ut med den slitne hjernen min ^^