Integral

[Arbeider]

Løs integralet:
[tex]\int_\: \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=ln|1+\sqrt{x}|+C[/tex]

Hvordan blir det egentlig?

Takk.forh.

[meCarnival]

Ser for meg en delvis integrasjon, siden nevner ikke kan faktoriserer og det ikke er noe som kjenner tegner substitusjon akkurat...

Svaret ditt skal bli:
[tex]2\sqrt{x}-2ln(\sqrt{x}+1)[/tex]

[Vektormannen]

Forslaget ditt (?) er feil. Bruk substitusjon, sett [tex]u = 1 + \sqrt x[/tex]. Da er [tex]\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt x} \ \Leftrightarrow \ dx = 2\sqrt x du[/tex]. Bruker nå at [tex]u = 1 + \sqrt x[/tex] som gir at [tex]\sqrt x = u - 1[/tex]. Da har vi at [tex]dx = 2\sqrt x du = 2(u - 1)du[/tex]. Substituer for nevner og dx i integralet:

[tex]\int \frac{1}{1 + \sqrt x}dx = \int \frac{1}{u} 2(u - 1)du[/tex].

Tar du det derfra?

edit: glemte en 2-faktor samtlige steder

[ettam]

[tex]\int_\: \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=2(\sqrt{x} + ln(1+\sqrt{x}))+C[/tex]

I følge denne.

EDIT: Ser at andre svarte før meg

[Arbeider]

Spørsmål anngående :
[tex]\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt x} \ \Leftrightarrow \ dx = \sqrt x du[/tex].

1.Hvordan blir det til [tex]dx=\sqrt{x}du[/tex]

Hvis man ser på denne:

[tex]\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt x} [/tex]

Ganger med dx på begge sider og får:

[tex]du = \frac{1}{2\sqrt x}dx [/tex]

For å få dx alene ganger man med [tex]\:2\sqrt{x}\:[/tex] på begge sider og ender med :

[tex]2\sqrt{x}du=dx[/tex]

Så hvordan ble det til [tex]\:dx=\sqrt{x}du \: [/tex]?

[Vektormannen]

Unnskyld, er jeg som slurva. Bare ta med 2-tallet slik du har gjort.

[Arbeider]

It`s allright. :]

Men lurer på hvilken regel man bruker for å løse det her:
[tex]\int_ \: \frac{1}{u} \cdot 2(u-1)du[/tex]

[Vektormannen]

Denne er det bare til å ordne litt på:

[tex]\int \frac{1}{u} \cdot 2(u-1) du = 2\int \frac{u - 1}{u}du = 2\int (1 - \frac{1}{u}) du[/tex]

[Arbeider]

Setter stor pris på hjelpen!

[meCarnival]

Liten stund siden integrasjon nå men:

[tex]2\int1-\frac{1}{u}du = 2\int1du-2\int\frac{1}{u}du = 2u-2ln(u)+C= 2(u-ln(u))+C = 2((1+\sqrt{x})-ln(1+\sqrt{x}))+C \,\neq \,2(\sqrt{x}-ln(1+\sqrt{x}))+C[/tex]

eller?

[Vektormannen]

Ganger du ut parentesen så får du konstanten 2 som kan legges sammen med C og bli en ny konstant. Da har du akkurat samme uttrykk.

[meCarnival]

Ja, stemmer ... Blingsingz...