Dobbeltintegral, polar...

[meCarnival]

God natt

[tex]e^{x^2+y^2} dy dx[/tex]

skrevet på polarkoordinater? Hvordan?


Jeg har prøvd meg litt og beste er vel

[tex]recos^2\theta \cdot resin^2\theta dr d \theta[/tex] men føler jeg er SKIKKELIG på jordet eller passe trøtt...

[Gustav]

[tex]x^2+y^2=r^2[/tex] og [tex]dxdy=rdrd\theta[/tex]

[meCarnival]

altså typ [tex]e^{r^2}r dr d \theta[/tex] ?

[espen180]

ja.

[meCarnival]

[tex]\int_0^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}e^{x^2+y^2}dydx \Rightarrow \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \int_0^1 re^{r^2} dr d \theta \Rightarrow \frac{e^{\sqrt{1-x^2}}-1}{2}[/tex]

Svar: [tex]\frac{\pi}{4}(e-1)[/tex]


I skrivende stund så tror jeg at jeg må gjøre om y-grensen pga jeg gjør om til polarkoordinater.. Så det når jeg førte inn her og ligger noe der kanskje ... Det får jeg se på i morgen, men ser ikke helt hvordan jeg skal utføre det...

[FredrikM]

Grensene må selvsagt også gjøres om. Husk at [tex]x=r\cos(\theta)[/tex].

[meCarnival]

Ja, det vet jeg, men får til riktig bytte av grensene for det... Tydeligvis glemt det..

Har jo [tex]y=\sqrt{1-x^2}[/tex], prøvde å sette inn, men blir jo et bilt uttrykk å sette videre inn da? fordi jeg må jo ha mhp theta ut igjen...

[Gustav]

Beskriv området du skal integrere over...

[meCarnival]

Oppgave lyder:

b) Lag en skisse i xy-plan (z=0) av det integrasjonsområdet som anvendes i følgende dobbeltintegral:

[tex]I = \int_0^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}e^{x^2+y^2} dy dx[/tex]

c)
Bruk så polarkoordinater til å bestemme integralet I.


- Jeg holder på med c pga beregninger, men tar imot tips på tegningen i b.. Kalkisen min klarer ikke å tegne den [tex]e^{x^2+y^2}[/tex] grafen.. Skjønner hvilket område jeg tar med i y og x retning, men vet ikke hvordan grafen ser ut... Jeg prøvde også å få noe ut av wolfram, men tror det ble for mye eller så skriver jeg inn feil... Får å se hvordan grafen til funksjonen min ser ut...

[meCarnival]

Lest om omgjøring og ingen eksempler i denne gata i boka... Er vel denne jeg ikke helt skjønner hvordan jeg skal gjøre det...

Har:
[tex]x^2+y^2=r^2[/tex]
[tex]x = rcos\theta[/tex]
[tex]y = rsin\theta[/tex]
[tex]\int\int_Df(x,y)dA = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}f(rcos\theta, r sin \theta) r dr d\theta[/tex]

[tex]D = \{ (r, \,\,\theta)\| \alpha \leq \theta \leq \beta, \,\,\, h_1\theta \leq r \leq h_2\theta \}[/tex]

Noe jeg overser eller?

[espen180]

Om jeg ikke er helt på jordet blir grensene slik:

[tex]y:\, 0,\sqrt{1-x^2} \\ x:\, 0,1[/tex] gjøres om til [tex]r: \, 0,1 \\ \theta: \, 0,90^\circ[/tex].

Som du vet er [tex]y=\sqrt{r^2-x^2}[/tex] og [tex]x:\,0,1[/tex] begrenser oss til første kvadrant.

[espen180]

[tex]r^2=x^2+y^2 \Leftrightarrow y=\sqrt{r^2-x^2}[/tex]

Øvre grense for y er lik [tex]\sqrt{1-x^2}[/tex]. Sammenligninger gir oss at integrasjonsområdet er en sirkel med radius 1, altså må vi integrere langs radiusen fra 0 til 1.

[tex]x=r\cos\theta \\ r=1 \\ x=\cos\theta[/tex]

x integreres fra 0 til 1.

[tex]\arccos 1=0 \\ \arccos 0 = \frac{\pi}{2}\,rad=90^\circ[/tex]

Altså skal [tex]\theta[/tex] integreres fra 0 til 90 grader.

Slik ser jeg det.

[meCarnival]

Jeg tok x'n, men ikke y'n... Greit å skjønne dette, siden det sikkert ikke er siste gang jeg skal gjøre dette...

[espen180]

Se det jeg sier om sirkelen og radiusen. Faktum at [tex]y=\sqrt{1-x^2}[/tex] sier oss at dette er en sirkel. Plot denne funksjonen i Geogebra eller på grafisk kalkulator el. noe og overbevis deg selv om at dette er sant.

"Hva med y?" spør du. Som du ser, inngår y i ligningen over. Det er selve forholdet mellom x og y over som sier os at dette er en sirkel, så jeg overser slett ikke y. Om du ville, kunne du skrevet om grensene til

[tex]x:\, 0, \sqrt{1-y^2} \\ y:\, 0,1[/tex]

og fått samme resultat. (Ser du hvorfor?)

[meCarnival]

Ja, jeg forstod y'n når du skrev det over.. fremgangsmåten jeg lurte på.. men ser at vi skal holde oss til første kvadrant, men jeg tenker også på [tex]e^{x^2+y^2}[/tex] det er vel ingen sirkel?


siste post
[tex]r^2 = x^2 + y^2 \Rightarrow y = \sqrt{r^2-x^2} \,\,V\,\, x = \sqrt{r^2-y^2} [/tex]
?

Men jeg skjønner omformingen, og når du gjør til [tex]x = \sqrt{r^2-y^2}[/tex] følger du y-aksen fra 0 -> 1, pga r = 1 uansett i sirkelen...
- Er det riktig oppfattet?

Men det er noe som er uklart her fortsatt... Det som gjøres med omformingen av x i stad? når du sier vi må holde oss til første kvadrant?