Kontinuitet ved hjelp av epsilon-delta.

[Betelgeuse]

Vis at [tex]f(x) =\frac{1}{x} [/tex] er kontinuerlig i punktet 1.

Jeg må altså vise at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] finnes en [tex]\delta > 0 \ s.a\ \left|{f(x) - f(1)}\right| < \epsilon [/tex] når [tex] \left|x - 1\right| < \delta[/tex].

jeg ser at

[tex]\left|{f(x) - f(1)}\right| = \left|\frac{1}{x} - 1\right| = \left|\frac{1-x}{x}\right| = \frac{\left|x - 1\right|}{\left|x\right|}[/tex]

sliter litt med å formulere et slående argument som gjør at dette definitivt blir mindre enn epsilon. Noen som kan hjelpe meg?

[Gustav]

Hint: La [tex]|x-1|<\delta<0.5[/tex]

[Betelgeuse]

Jaaa.. hmm. Da ser jeg at 3/2 > x > -1/2. Hvordan kan jeg bruke dette videre?

[Gustav]

Jaaa.. hmm. Da ser jeg at 3/2 > x > -1/2. Hvordan kan jeg bruke dette videre?

Ikke helt riktig, du ser at [tex]0.5<x<1.5[/tex]... noe som gir at [tex]\frac{1}{|x|}<2[/tex]

[Betelgeuse]

Ah, enig. Og det gir så videre at..

[tex]\frac{\left|x-1\right|}{\left|x\right|} < 1[/tex]

Men epsilon kan jo være vilkåelig liten. Hvilket argument bruker jeg for å slå fast at jeg kan få dette enda mindre?

[Gustav]

Vel, det fins en strengere ulikhet som kan brukes , nemlig at

[tex]\frac{|x-1|}{|x|}<2\delta[/tex]


EDIT: rettet en feil

[Betelgeuse]

Hvordan kom du nå frem til den ulikheten mr?

[Gustav]

Beklager, jeg hadde skrevet litt feil i forrige innlegg. Det skal vel være at dette

Hint: La [tex]|x-1|<\delta<0.5[/tex]

gir

[tex]\frac{|x-1|}{|x|}<2\delta[/tex], så hvis du setter[tex] \epsilon=2\delta[/tex] ...

[FredrikM]

*kverulere*

Du har ikke kontroll over [tex]\eps[/tex], så det du gjør er å sette [tex]\delta = \frac \eps 2[/tex].

[Betelgeuse]

Enig med fredrik i at [tex]\delta[/tex] må skrives som en funksjon av [tex]\epsilon[/tex], men må fortsatt si at jeg er forvirret over ressonementet.

[Gustav]

Det jeg kort oppsummert har vist er at dersom [tex]|x-1|<max(0.5,\frac{\epsilon}{2})[/tex] er [tex]|f(x)-f(1)|<\epsilon[/tex].

Tenk på definisjonen av kontinuitet i punktet x=1. "Hvor hver [tex]\epsilon>0[/tex]
fins en [tex]\delta[/tex] slik at ..."

[Betelgeuse]

Tror jeg har det nå..

[tex]\left|{f(x) - f(1)}\right| = \left|\frac{1}{x} - 1\right| = \left|\frac{1-x}{x}\right| = \frac{\left|x - 1\right|}{\left|x\right|}[/tex]

og med god hjelp fra dere så jeg at hvis vi setter [tex]\delta[/tex] = 2

må 1/2 < x < 3/2, som betyr at

[tex] \frac{1}{\left|x\right|} < 2[/tex] og da også at [tex]\frac{\left|x - 1\right|}{\left|x\right|} < 1[/tex]

jeg har satt [tex]\delta[/tex] = 1/2, som også betyr at [tex]2\delta[/tex] = 1
dvs at [tex]\frac{\left|x - 1\right|}{\left|x\right|}[/tex] < [tex]2\delta[/tex]
og jeg ser derved at hvis jeg setter

[tex]\delta = \frac{\epsilon}{2} \Rightarrow \frac{\left|x - 1\right|}{\left|x\right|} < \epsilon[/tex]!

Riktig?...

[Andreas345]

Er riktig, men oppsettet ditt var ikke det beste.

"Vi lar [tex]\delta=min \left {\frac{1}{2}, \frac{\eps}{2} \right }[/tex]" burde vært med.

[Betelgeuse]

Bare det som kunne vært bedre? Vil gjerne høre helt spesifikt og hvorfor. Prøver å komme over epsilon-delta barrieren. Hvorfor er det f.eks viktig å spesifisere at [tex]\delta = min\left{1/2, \epsilon/2\right}[/tex] Holder det ikke bare å sette den lik [tex]\epsilon/2[/tex]?

[Andreas345]

Fordi selve meningen ved å sette [tex]\delta=min \left {\frac{1}{2}, \frac{\eps}{2} \right }[/tex]er å regulere faktoren |x| slik at [tex]\delta[/tex] ikke blir for stor.