Reel polynom - Røtter

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Itchy
Noether
Noether
Posts: 24
Joined: 25/10-2008 19:45

[tex]P(z) = z^3 + az^2 + bz + c[/tex]

Dette polynomet har 2 og i som røtter. I oppgaven står det P(z) lik

1: [tex] z^3 - 3z - 2[/tex]
2: [tex] z^3 + 2z^2 + z + 2[/tex]
3: [tex] z^3 + 2z^2 - z - 2[/tex]
4: Har ikke nok opplysninger
5: [tex] z^3 - 2z^2 + x - 2[/tex]

Det er en av disse alternativene. Jeg tenkte å først sette 2 inn for z.

[tex]P(z) = 2^3 + a2^2 + b2 + c[/tex]

Men dette kan ikke bli riktig. Noen tips?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Siden a,b og c er reelle må den siste rota være den konjugerte til den komplekse rota oppgitt i oppgaven, så [tex]P(z)=(z-2)(z-i)(z+i)[/tex]
Last edited by Gustav on 06/10-2009 20:55, edited 1 time in total.
mrcreosote
Guru
Guru
Posts: 1995
Joined: 10/10-2006 20:58

At r er ei rot i polynomet Q betyr at Q(r)=0. Du starter smart med å beregne P(2)=8+4a+2b+c. Siden du har fått oppgitt at 2 er ei rot, må dette være lik 0; 4a+2b+c=-8. På samme måte kan du skaffe deg ei ligning til fordi P(i)=0. Til slutt veit du at også den konjugerte til i, nemlig -i er ei rot i P siden P er et reelt polynom, så P(-i)=...=0. Nå har du et ligningsystem i a, b og c du kan løse.

En enklere måte er å observere at siden 2, i og -i er røtter i 3.gradspolynomet, må z-2, z-i og z-(-i) alle være faktorer i polynomet, som dermed må være (z-2)(z-i)(z+i).
Itchy
Noether
Noether
Posts: 24
Joined: 25/10-2008 19:45

plutarco wrote:Siden a,b og c er reelle må den siste rota være den konjugerte til den komplekse rota oppgitt i oppgaven, så [tex]P(z)=(z-2)(z-i)(z+i)[/tex]
Dette gjelder altså ikke kun for partallspolynomer? Jeg trodde at bare polynomer av 2'de, 4'de, 6'te osv. rot har den regelen. Men det gjelder visst for alle reele polynomer.

Javel, takk skal dere ha.
FredrikM
Poincare
Poincare
Posts: 1367
Joined: 28/08-2007 20:39
Location: Oslo
Contact:

Utfordring: bevis at det må være slik.

Hint:
[tex]\bar{(a+b)}=\bar{a}+\bar{b}[/tex]
og
[tex]\bar{ab}=\bar{a}\cdot\bar{b}[/tex]
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Post Reply