Reel polynom - Røtter

[Itchy]

[tex]P(z) = z^3 + az^2 + bz + c[/tex]

Dette polynomet har 2 og i som røtter. I oppgaven står det P(z) lik

1: [tex] z^3 - 3z - 2[/tex]
2: [tex] z^3 + 2z^2 + z + 2[/tex]
3: [tex] z^3 + 2z^2 - z - 2[/tex]
4: Har ikke nok opplysninger
5: [tex] z^3 - 2z^2 + x - 2[/tex]

Det er en av disse alternativene. Jeg tenkte å først sette 2 inn for z.

[tex]P(z) = 2^3 + a2^2 + b2 + c[/tex]

Men dette kan ikke bli riktig. Noen tips?

[Gustav]

Siden a,b og c er reelle må den siste rota være den konjugerte til den komplekse rota oppgitt i oppgaven, så [tex]P(z)=(z-2)(z-i)(z+i)[/tex]

[mrcreosote]

At r er ei rot i polynomet Q betyr at Q(r)=0. Du starter smart med å beregne P(2)=8+4a+2b+c. Siden du har fått oppgitt at 2 er ei rot, må dette være lik 0; 4a+2b+c=-8. På samme måte kan du skaffe deg ei ligning til fordi P(i)=0. Til slutt veit du at også den konjugerte til i, nemlig -i er ei rot i P siden P er et reelt polynom, så P(-i)=...=0. Nå har du et ligningsystem i a, b og c du kan løse.

En enklere måte er å observere at siden 2, i og -i er røtter i 3.gradspolynomet, må z-2, z-i og z-(-i) alle være faktorer i polynomet, som dermed må være (z-2)(z-i)(z+i).

[Itchy]

Siden a,b og c er reelle må den siste rota være den konjugerte til den komplekse rota oppgitt i oppgaven, så [tex]P(z)=(z-2)(z-i)(z+i)[/tex]

Dette gjelder altså ikke kun for partallspolynomer? Jeg trodde at bare polynomer av 2'de, 4'de, 6'te osv. rot har den regelen. Men det gjelder visst for alle reele polynomer.

Javel, takk skal dere ha.

[FredrikM]

Utfordring: bevis at det må være slik.

Hint:
[tex]\bar{(a+b)}=\bar{a}+\bar{b}[/tex]
og
[tex]\bar{ab}=\bar{a}\cdot\bar{b}[/tex]