Differensiallikninger - Første ordens og Separabel likning

[Zhai]

Akkurat nå sliter jeg med å løse to difflikninger. Den ene er en første ordens likning og den andre er en separabel likning.

Første ordens:
y' + (2 tan x)y = 2 tan x

Separabel:
y' + (2 tan x)(y - 1) = 0

Har selvfølgelig prøvd å regne litt selv, men det ble så mye rot og tull når jeg skulle regne med tan x , også dukket det opp regning med eksponensial funksjoner osv. Så håper noen kunne vise meg hvordan disse oppgavene skal gjøres.

[sirins]

Disse er da helt like??

[tex] y\prime +(2tanx)y = 2tanx[/tex]

[tex] y\prime +(2tanx)y-2tanx = 0[/tex]

[tex] y\prime +(2tanx)(y-1)= 0[/tex]

[sirins]

Anyways, prøv å få y'er på en side og x'er på den andre.

[Janhaa]

hvis jeg i farta ikke tar feil, er disse like

[tex]\text{dy\over dx}=-2\tan(x)\left(y-1\right)[/tex]

[tex]\text \int{dy\over {y-1}}=-2\int\tan(x)\,dx\left(\right[/tex]

osv...

[Zhai]

De er like, og det er meningen også.
Saken er at man skal løse det som en første ordens i den ene og separabel i den andre.

[Zhai]

Så noen ideer? Jeg får jo satt opp stykket riktig osv, men utregningen min ender opp feil tror jeg.

[sirins]

Vis utregning så kan vi jo se!

Innlegget til Janhaa viser deg hvordan du løser den separable difflikningen.

[Zhai]

Første ordens difflikning:
y' + (2 tan x)y = 2 tan x

y' + f(x) y = g(x)

F (x) = [symbol:integral]f(x) dx = 2[symbol:integral]tan x dx = -2 ln (cos x)

y = e[sup]-F(x)[/sup] [symbol:integral]g(x) * e[sup]F(x)[/sup] dx
= e[sup]-(-2 ln (cos x))[/sup] [symbol:integral]2 tan x * e[sup]-2 ln (cos x)[/sup] dx
=

Så langt klarte jeg å komme. Vet ikke helt om det er lett å forstå det jeg har skrevet, og jeg vet heller ikke om jeg har gjort riktig hittil. Hvis det er riktig så langt, så er problemet nå hvordan jeg fortsetter med regningen.

[sirins]

Syns dette ser riktig ut..

[tex]e^{-(-2ln(cosx))} = e^{2ln(cosx)}[/tex]

Så må du regne ut integralet ditt, da burde du bruke substitusjon. Du vet jo allerede at [tex]2tanx[/tex] er den deriverte til [tex]-2ln(cosx)[/tex], så det kan jo være lurt å sette [tex]u=-2ln(cosx)[/tex]

[Zhai]

Greit, hvis jeg forstår rett, så må jeg regne dette integralet [symbol:integral]e[sup]-2 ln (cos x)[/sup] dx.

Siden jeg vet at [symbol:integral]2 tan x = -2 ln (cos x) så trenger jeg ikke å regne integralet av 2 tan x på nytt.
Så med substitusjon på [symbol:integral]e[sup]-2 ln (cos x)[/sup] får jeg 1/2 e[sup]-2 ln (cos x)[/sup]. Stemmer dette?

Hvis dette stemmer så vil jeg videre i oppgaven komme til et punkt hvor jeg sitter med

1/2 e[sup]2 ln (cos x)[/sup] * e[sup]-2 ln (cos x)[/sup] * - 2 ln (cos x)

Det siste leddet fikk jeg fra å regne ut integralet av 2 tan x forresten. Kan jeg regne videre herfra? For man kan vel ikke regne sammen ln med e? eller?

[yngevege]

Greit, hvis jeg forstår rett, så må jeg regne dette
1/2 e[sup]2 ln (cos x)[/sup] * e[sup]-2 ln (cos x)[/sup] * - 2 ln (cos x)

Husk at [tex]e^{ln(cos\,x)} = cos\,x[/tex]

Da blir uttrykket ditt mye enklere.

[Zhai]

Men stemmer det at ∫e[sup]-2 ln (cos x)[/sup] = 1/2 e[sup]-2 ln (cos x) [/sup] ?

Hvis alt stemmer så langt, og jeg omskriver det siste regnestykket jeg hadde kommet fram til så blir det

1/2 e[sup]2 ln (cos x)[/sup] * e[sup]-2 ln (cos x) [/sup]* - 2 ln (cos x)

= 1/2 * 2 cos x * -2 cos x * - 2 ln (cos x)

Men hva gjør jeg nå? For den siste delen som har "ln" kan vel ikke bare ganges med de andre leddene?