Kompleks og reel faktorisering

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Wentworth
Riemann
Riemann
Posts: 1521
Joined: 08/04-2007 15:47
Location: Oslo

[tex]z^6-4z^3+4[/tex]

Man må jo finne røttene til denne likningen for å skrive den relle og den komplekse faktoriseringen.

Hvordan finner jeg disse røttene?
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

[tex]{z^6} - 4{z^3} + 4 = 0 [/tex]

[tex] u = {z^3} [/tex]

[tex] {u^2} - 4u + 4 = 0 [/tex]

[tex] {\left( {u - 2} \right)^2} = 0 [/tex]

[tex] {z^3} = 2[/tex]
FredrikM
Poincare
Poincare
Posts: 1367
Joined: 28/08-2007 20:39
Location: Oslo
Contact:

Husk multiplisiteten når du substituerer.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Forstår ikke helt hva du mener, litt over mitt hodet.

Men den eneste reele roten jeg kan se er [tex]\sqrt[3]{2}[/tex]
Som var det Wentworth va ute etter, var det ikke det?
Karl_Erik
Guru
Guru
Posts: 1080
Joined: 22/10-2006 23:45

Det FredrikM sier er at roten du fant ved substitusjon har multiplisitet to (dvs at det er en 'dobbeltrot') i 'substitusjonslikningen'. Du har helt rett i at [tex]z^3=2[/tex] gir alle løsninger av likningen, men husk at alle sammen vil ha multiplisitet to.
Wentworth
Riemann
Riemann
Posts: 1521
Joined: 08/04-2007 15:47
Location: Oslo

Vel jeg var ute etter den komplekse og den reele faktoriseringen som jeg fant nå ved å finne røttene til den reele ligningen.Og vi har jo lemmaet at : I en reel ligning , hvis r er en rot er også den konjugerte (r med strek over) også en rot. Dermed har vi da [tex]\: (z- \sqrt[3]{2})(z+\sqrt[3]{2}) \:[/tex] altså den totale multiplisiteten for disse to konjugerte røttene er 1+1=2. Vi finner også at [tex]\: (z^2 +\sqrt[3]{2}z+\sqrt[3]{4}) \:[/tex]er en rot i den reele ligningen.Men fra lemmaet har vi at da er også [tex]\: (z^2 +\sqrt[3]{2}z+\sqrt[3]{4}) \:[/tex]den konjugerte av denne en løsning, dermed har vi da : [tex]\: (z^2 +\sqrt[3]{2}z+\sqrt[3]{4})^2 \:[/tex].

Den reele faktoriseringen blir altså:

[tex]\: (z-\sqrt[3]{2})^2 (z^2 +\sqrt[3]{2}z+\sqrt[3]{4})^2 \:[/tex]

Som matematikere sier: <<Vi teller røttene med multiplisitet>> :P

Vi ser at den totale multiplisiteteten er lik 6. Og det er jo en sjettegradsligning vi har. :) :D

Jeg håper jeg får status som guru som julegave fra moderatorene eller administratoren. :)
Realist1
Euclid
Euclid
Posts: 1993
Joined: 30/01-2007 20:39

Wentworth wrote:Jeg håper jeg får status som guru som julegave fra moderatorene eller administratoren. :)
Hvorfor vil du være guru?
FredrikM
Poincare
Poincare
Posts: 1367
Joined: 28/08-2007 20:39
Location: Oslo
Contact:

Wentworth wrote:Og vi har jo lemmaet at : I en reel ligning , hvis r er en rot er også den konjugerte (r med strek over) også en rot. Dermed har vi da [tex]\: (z- \sqrt[3]{2})(z+\sqrt[3]{2}) \:[/tex] altså den totale multiplisiteten for disse to konjugerte røttene er 1+1=2.
Dette gir ikke mye mening. Husk at å konjugere ikke er det samme som å gange med minus én.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Wentworth
Riemann
Riemann
Posts: 1521
Joined: 08/04-2007 15:47
Location: Oslo

Realist1 wrote:
Wentworth wrote:Jeg håper jeg får status som guru som julegave fra moderatorene eller administratoren. :)
Hvorfor vil du være guru?
For jeg har fortjent den! :wink:
Wentworth
Riemann
Riemann
Posts: 1521
Joined: 08/04-2007 15:47
Location: Oslo

FredrikM wrote:
Wentworth wrote:Og vi har jo lemmaet at : I en reel ligning , hvis r er en rot er også den konjugerte (r med strek over) også en rot. Dermed har vi da [tex]\: (z- \sqrt[3]{2})(z+\sqrt[3]{2}) \:[/tex] altså den totale multiplisiteten for disse to konjugerte røttene er 1+1=2.
Dette gir ikke mye mening. Husk at å konjugere ikke er det samme som å gange med minus én.
Den gir god mening til meg, lemma 3.5.3 tom lindstrøm kalkulus(du har jo lest den du :) )! :wink:

Jeg vet det Fredrik, det er ikke det samme som å gange med minus. Hvis du tenker på a+ib er da a-ib den konjugerte til a+ib.Hvis du hadde ganget a+ib med minus 1 får man -a-ib og det blir jo feil. Men kanskje en påminnelse til de andre. :)
Realist1
Euclid
Euclid
Posts: 1993
Joined: 30/01-2007 20:39

Wentworth wrote:
Realist1 wrote:
Wentworth wrote:Jeg håper jeg får status som guru som julegave fra moderatorene eller administratoren. :)
Hvorfor vil du være guru?
For jeg har fortjent den! :wink:
Hvordan?
Wentworth
Riemann
Riemann
Posts: 1521
Joined: 08/04-2007 15:47
Location: Oslo

Realist1 wrote:
Wentworth wrote:
Realist1 wrote: Hvorfor vil du være guru?
For jeg har fortjent den! :wink:
Hvordan?
Det er en intern privatsak mellom admin eller moderatorene isåfall som jeg tror dem selv innser at det er på tide med en høyere rangering enn den nåværende, Realist. :) :wink:
Realist1
Euclid
Euclid
Posts: 1993
Joined: 30/01-2007 20:39

Wentworth wrote:
Realist1 wrote:
Wentworth wrote: For jeg har fortjent den! :wink:
Hvordan?
Det er en intern privatsak mellom admin eller moderatorene isåfall som jeg tror dem selv innser at det er på tide med en høyere rangering enn den nåværende, Realist. :) :wink:
Hehe, ok.
Post Reply