Kompleks ligning

[Wentworth]

[tex]1+iz-z^2-iz^3+z^4=0[/tex]

Hvordan løser man denne ligningen?

På forhånd takk!

[Karl_Erik]

Legg merke til at venstresiden også kan skrives som [tex]1+iz+(iz)^2+(iz)^3+(iz)^4[/tex]. Gjør du substitusjonen [tex]w=iz[/tex] blir likningen [tex]1+w+w^2+w^3+w^4=0[/tex], og denne tar du kanskje selv?

[Wentworth]

Prøver å få andregradslikning av den fjerdegradsligning som du viser til med ukjent w.
Dermed setter jeg [tex]\: w^2=u[/tex]

og får:

[tex]u^2+uw+u+w+1=0[/tex]

Hvordan løser man denne da?Hvis det ikke skal løses slik videre med en andregradsformel, hvordan skal den fjergradslikningen med w som ukjent løses da?Isåfall når jeg prøver å løse med andregradsformelen så får jeg en komplisert kvadratrot i andregradsformelen sammen med annet....

[FredrikM]

Hint:

[tex]1+x+x^2+...+x^r=\frac{1-x^{r+1}}{1-x}[/tex]

[Markonan]

Prøver å få andregradslikning av den fjerdegradsligning som du viser til med ukjent w.

Den fremgangsmåten funker bare når du har polynomer på formen
[tex]x^{2n} + x^n + c[/tex].

[Wentworth]

Enig, og da får jeg:

[tex]w^5=1[/tex]

[tex](iz)^5=1[/tex]

[tex]iz^5=1[/tex]

Ganger med -i på begge sider og får:

[tex]z^5=-i[/tex]

Dermed er røttene til z^5=-i:
[tex]z_1=e^{i \frac{3 \pi}{10}} \: , \: z_2=e^{i \frac{7 \pi}{10}} \: , \: z_3=e^{i \frac{11 \pi}{10}} \: , \: z_4=e^{i \frac{3 \pi}{2}} \: ,\:z_5=e^{i \frac{19 \pi}{10}} \: [/tex]

[Karl_Erik]

Det virker da veldig merkelig at du skal ha et fjerdegradspolynom med fem forskjellige røtter?

[Nebuchadnezzar]

Wolfram gir fire løsninger.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... 29%5E4%3D0

[Markonan]

Jeg skjønner ikke hvordan du ender opp med w^5 = 1...
Hvordan gikk du frem for å få det?

[espen180]

Han brukte nok Fredriks metode med sum av geometrisk rekke og gikk fra

[tex]\frac{w^5-1}{w-1}=0[/tex]

til

[tex]w^5=1\,,\,w\neq1[/tex]

Dermed er [tex]z_4[/tex] til Wentworth over ikke en løsning, som man kan se ved å sette [tex]z=-i[/tex] inn i det opprinnelige polynomet.

[Markonan]

¡Por supuesto!

[Wentworth]

Husk nå at røttene jeg har oppgitt altså disse røttene :
[tex]z_1=e^{i \frac{3 \pi}{10}} \: , \: z_2=e^{i \frac{7 \pi}{10}} \: , \: z_3=e^{i \frac{11 \pi}{10}} \: , \: z_4=e^{i \frac{3 \pi}{2}} \: ,\:z_5=e^{i \frac{19 \pi}{10}} \: [/tex]

er røttene til [tex]\: z^5=-i \:[/tex].

Men vi har jo forutsatt å finne røttene til fjerdegradsligningen oppført i første innlegg i tråden.Dermed er det bare 4 røtter som er løsninger for denne 4.gradsligningen.Og da er det vel opplagt at siden z^5=-i , så er det denne løsningen z_4 som uteblir, for denne gir løsningen for z=-i ( som er en av løsningene til w^5=1 eller z^5=-i), men vi er ikke ute etter denne.Dermed er de andre 4 løsningene som også noen her har sjekka via wolframalpha, er de korekte.