Algebra - faktorisering

[gundersen]

Hei, folkens

Har et lite spørsmål, da jeg ikke klarer å få samme svar som fasiten tilsier.

Spørsmålet er: forkort brøken;

x2 + 2x - 3 / x2 - 6x + 5

Svaret jeg fikk ble x + 3 / -x + 5
men fasiten viser x + 3 / x - 5

Kan noen bekrefte dette og eventuelt prøve å forklare meg hvordan svaret ble slik?

Tar faget som privatist, og har ikke anledning å spørre noen så har vært ypperlig med svar

[Nebuchadnezzar]

[tex]\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} - 6x + 5}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x + 3}}{{x - 5}}[/tex]

Bruk andregradsformelen, ta det i hodet, eller faktoriser...

To metoder å faktorisere på, skal linke til en tidligere post hvor jeg svarte utfyllende på hvordan å ta det i hodet.

Faktorisering

[tex] {x^2} + 2x - 3 [/tex]

Legger til [tex](\frac{b}{2})^2[/tex] for å skape om det første til et perfekt kvadrat.

[tex] {x^2} + 2x + {\left( {\frac{2}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{2}{2}} \right)^2} - 3 = 0[/tex]

[tex] {\left( {x + 1} \right)^2} = 3 + {\left( 1 \right)^2} [/tex]

[tex] {\left( {x + 1} \right)^2} - 4 = 0 [/tex]

[tex] \left( {\left( {x + 1} \right) - 2} \right)\left( {\left( {x + 1} \right) + 2} \right) = 0 [/tex]

[tex] \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 [/tex]

Andregradsformelen

[tex] {x^2} + 2x - 3 [/tex]

[tex] \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 2 \right) \pm \sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( { - 3} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {16} }}{2} = \frac{{ - 2 \pm 4}}{2} = - 1 \pm 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3 \\x = 1\\ \end{array} \right. [/tex]

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... 254#110254

[gundersen]

Løste den nå, tusen takk

[avss]

Forstår ikke helt hvordan du faktoriserer. hvor blir det av 2x over brøkstreken og 6x under??

[Nebuchadnezzar]

Gang ut parentesene også ser du at det stemmer.

[tex](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex]

[tex](a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd[/tex]

tenk deg at [tex]x^2 + 2x - 3[/tex] er en funksjon i et kordinatsystem.
Da vill denne funksjonen krysse x aksen to steder. Når funksjonen krysser x aksen betyr det at x verdien er lik null. Når vi har en funksjon av andre grad, betyr det at det finnes to slike punkter.

Vi kan skrive dette som [tex](x-n)(x-m)=0[/tex] der n og m er to tilfeldige reele tall

Om du tenker deg litt om forstår du raskt at om venstresiden skal være lik null må enten [tex](x-n)[/tex] eller [tex](x-m)[/tex] være lik [tex]0[/tex]

Da får vi at [tex]x-n=0[/tex] eller [tex]x-n=0 [/tex]som gir oss at

[tex]x=n \, \vee \, x=m [/tex]

Ved bruk av andregradsformelen som er gitt på formen

[tex]x\,=\,\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]

Kan vi løse ligninger av andre grad, som betyr funksjoner av der høyeste eksponent er to. For funksjoner på formen [tex]ax^2+bx+c[/tex]

Da får vi to tall, siden vi har [tex]\pm[/tex] tegnet som betyr pluss eller minus. Og disse to tallene kan vi snu fortegnet på og sette inn i paranteser

For eksempel funksjonen [tex]f(x) = x^2 - x - 6 [/tex]
Her ser vi at [tex]a=1[/tex] og [tex]b=-1[/tex] og at [tex]c=6[/tex]

[tex]ax^2 + bx + c[/tex]

Setter vi det inn i formelen [tex]x\,=\,\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex] får vi at [tex]x=-2[/tex] eller [tex]x=3[/tex]

(Prøv formelen å se at dette stemmer!)

Da er [tex]n=-2[/tex] og [tex]m=3 [/tex]
Husker vi tilbake så vi at nullpunktene kunne skrives som [tex](x-n)(x-m)[/tex]

Får vi at [tex](x+2)(x-3)[/tex] Ganger vi dette ut får vi:

[tex](x+2)(x-3) \, = \, x^2 -3x +2x -6 \, = \, x^2 -x - 6 [/tex]

Oppgaven over var

[tex]x^2 + 2x -3[/tex] som jeg skrev om ved hoderegning (se posten jeg linket til)
til [tex](x-1)(x+3)[/tex]

Ganger vi dette ut får vi

[tex](x-1)(x+3)\,=\,x^2+3x-x-3\,=\,x^2+2x-3[/tex] som åpenbart stemmer. Du kan sjekke uttrykket under. Totallet forsvinner ikke det, blir bare ganget inn ^^

Håper dette var oppklarende, om ikke så bare spørr.

[avss]

Synes det frremdeles er vanskelig å forstå. Har ikke vært gjennom annengradslikninger ennå. Bruker du kvadratsetningen?

[Nebuchadnezzar]

Bruker egentlig bare [tex](a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd[/tex]

La oss si at vi har en rett linje på formen [tex]y = 5x - 10 [/tex]
Her kan vi se at denne krysser [tex]x[/tex] aksen når [tex]x=2[/tex]

Enkelt og greit har en andregradslikning to slike punkter som vi kan finne ved forskjellige måter...

En er ABC formelen / andregradsformelen.
Faktorisering
Vietes formel / Hoderegning
Newtons tilnærmingsformel

Det finnes mange veier til rom. Ofte så er det lurt å bare prøve seg litt frem.

La oss si at vi har en funksjon som er gitt ved [tex]f(x) = x^2 - 3x + 2[/tex] klarer du å tippe når f(x)=0

Setter vi inn at x=0 får vi ut 2 som åpenbart ikke er lik 0. Prøver vi oss med -1 får vi ut 6 som heller ikke er null. Setter vi inn 2 eller 1 får vi ut 0.

Vær så snill å tegn grafen [tex]x^2 - 3x + 2[/tex] det gjør ting mye lettere...

Viettes formel sier at vi kan faktorisere et andregradspolynom
som er på formen [tex]ax^2 + bx + c[/tex] til [tex](x-m)(x-n)[/tex] dersom [tex]m[/tex] og [tex]n[/tex] er to hele tall og at [tex]a=1[/tex]

Da vet vi at [tex]n \cdot m=c[/tex] og [tex]n+m=b[/tex]

Når vi vet at [tex]n \cdot m=c[/tex] og [tex]n+m=b[/tex] kan vi lett prøve oss frem å se hvilke tall som kan passe.

La oss bruke eksempelet [tex]x^2 + x - 6 [/tex]

Vi vil finne to tall som når de blir ganget sammen gir oss 6 og når vi legger de sammen så skal de gi oss 1. (Det står et usynnlig ettall foran x)

Det finnes uendelig mange tallpar som gir oss [tex]1[/tex] når vi legger de sammen. Men det finnes bare et par tallpar som gir oss [tex]-6[/tex] når vi ganger de sammen.
Vi skriver opp disse for å finne tallene [tex]n[/tex] og [tex]m[/tex]

[tex](6) \cdot (-1)=-6[/tex]
[tex](-6) \cdot (1)=-6[/tex]
[tex](-3) \cdot (2) = -6[/tex]
[tex](-2) \cdot (3) = -6 [/tex]

Og det var vell alle hele tallparene som vi kan gange sammen for å få 6.
Nå sjekker vi hvilke av disse som gir oss 1

[tex](6) + (-1)=5[/tex]
[tex](-6) + (1)=-5[/tex]
[tex](-3) + (2) =-1[/tex]
[tex](-2) + (3) =1[/tex]

Eureka! [tex]-2\cdot3=6[/tex] og [tex]-2+3=1 [/tex]
Da kan vi faktisk skrive om [tex]x^2 + x - 6[/tex] til [tex](x-2)(x+1) [/tex]

Klarer du nå og faktorisere [tex]f(x)=x^2 - 2x - 8[/tex]

Hint [tex]a=1[/tex] [tex]b=-2[/tex] og [tex]c=-8[/tex]

Enten ved bruk av viettes formel elller andregradsformelen.

[tex]x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]

Om du ikke klarer det, kan du helt sikkert tippe løsningene ^^

Etterpå kan du sjekke ut om svarene du får er riktige ved å gange ut parantesen

http://www.youtube.com/watch?v=IWigvJcC ... tube_gdata

http://www.youtube.com/watch?v=IWigvJcC ... tube_gdata

http://www.youtube.com/watch?v=gzm-uhj0 ... tube_gdata

[avss]

Ok. Kan du ta denne ogs?:)

x+3 /x+5 + 6 / x^2 +3x-10 .
Føler det er et hull i forståelsen min når det kommer til dette. jeg forstår hvordan man faktoriserer. men hvordan finner man fellesnevner når det inneholder flere tall og x'er?

[Nebuchadnezzar]

Lær deg latex! eller bruk parenteser, veldig forvirrende å vite hva du mener. Antar du mener

[tex]\frac{{x + 3}}{{x + 5}} + \frac{6}{{{x^2} + 3x - 10}}[/tex]

Først må du faktorisere brøken, med den hjelpen du har fått burde ikke dette være noe problem. Ta en titt på linkene jeg gav deg prøv litt frem, gjør ingenting om du gjør feil. Grunnleggende latex læres her. Post så langt du kommer så kan vi hjelpe deg videre...

http://www.diskusjon.no/index.php?showtopic=1080165

[avss]

Ok. men problemet er at jeg ikke forstår forklaringen din. Dette er noe helt annet enn det jeg har sett tidligere, med grafer osv. Går vel an å tenke annerledes også når man skal faktorisere?

[Nebuchadnezzar]

1. Se videoene som forklarer ting på en annen måte enn min
2. Prøv selv
3. Spørr

^^

[avss]

Jeg forstår ikke. går det ikke an å løse den ved vanlig faktorisering? uten at det har med annengradslikninger og funksjoner å gjøre?

[Markonan]

Nei, annengradsligninger kan ikke faktoriseres direkte.

Kan vise med et eksempel.
[tex](x-1)(x+3)[/tex]

Som er det samme som:
[tex]x(x+3) - 1(x+3)[/tex]

Ganger inn i parentesene:
[tex]x^2 + 3x - x - 3[/tex]

Men så legger vi sammen disse uttrykkene! Vi beholder x[sup]2[/sup] og -3, men i leddet med bare x mister vi informasjon!
[tex]x^2 + 2x - 3[/tex]

Pga. det informasjonstapet kan vi ikke faktorisere oss frem til svaret på den vanlige måten.

Man løser vanligvis annengradsligninger ved å sette inn i abc-formelen (som brukes så mye at man like godt kan pugge den):
[tex]ax^2 + bx + c \;\Rightarrow\; x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]

En annen metode er å fullføre kvadratet, som Nebu viste over.