Likning..

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Betelgeuse
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 260
Joined: 16/04-2009 21:41

Har likningen

[tex](z+h)(\ln \left(\frac{z+h}{h} \right) -1) = C[/tex]

hvor h og C er konstanter.. Skal løse ut for z og få at dette er en ny konstant. Ser ikke hvordan jeg kan løse ut for z i denne likningen uten å få en eksponentialfunksjon av z..
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

Fiklet litt med denne, men klarte det ikke.
Sjekket Matlab.

Code: Select all

>> syms z h C
>> solve('(z+h)*(log((z+h)/h) - 1) = C', z)
 
ans =
 
exp(lambertw(1/h*C*exp(-1))+1)*h-h
Så da blir det frem med omegafunksjonen. :)
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Føy å få trene litt på algebraen, ser dette riktig ut ?

Er litt usikker på hva man skal gjøre videre, men antar at det bare er å bruke lambert w funksjonen. dog er jeg litt usikker... Hadde vært greit å få avkreftet eller bekreftet om algebraen min er riktig ^^


[tex] \left( {z + h} \right)\left( {\ln \left( {\frac{{z + h}}{h}} \right) - 1} \right) = C [/tex]

[tex] \left( {z + h} \right)\ln \left( {\frac{z}{h} + 1} \right) - \left( {z + h} \right) = C [/tex]

[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h} + 1} \right)}^{\left( {z + h} \right)}}} \right) - \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C} = 1[/tex]

[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h}} \right)}^{\left( {z + h} \right)}} + 1} \right) = 1 + \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C} [/tex]

[tex] {\left( {\frac{z}{h}} \right)^{\left( {z + h} \right)}} + 1 = {e^{(1 + \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C}})} [/tex]
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

[tex] \left( {z + h} \right)\ln \left( {\frac{z}{h} + 1} \right) - \left( {z + h} \right) = C [/tex]

[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h} + 1} \right)}^{\left( {z + h} \right)}}} \right) - \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C} = 1[/tex]
I dette steget burde du vel delt begge leddene på venstresiden med C?

I følge wikipedia brukes omegafunksjonen slik:
[tex]Xe^X = Y \;\Longleftrightarrow \; X = W(Y)[/tex]

Jeg begynte litt med uttrykket jeg fikk i Matlab, og prøvde å regne meg bakover. Så når man leverer oppgaven inn, så bare skriver man utregningen i omvendt rekkefølge og ser superproff ut. :P

[tex]z = h\cdot\exp\left\{W(\frac{C}{h\cdot e})+1\right\}-h[/tex]

[tex]z + h = h\cdot\exp\left\{W(\frac{C}{h\cdot e})+1\right\}[/tex]

[tex]\frac{z + h}{h} = \exp\left\{W(\frac{C}{h\cdot e})+1\right\}[/tex]

[tex]\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) = W(\frac{C}{h\cdot e})+1[/tex]

[tex]\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1 = W(\frac{C}{h\cdot e})[/tex]

Her blir jeg litt usikker. Skjønner ikke hvordan det jeg har på venstresiden kan være er X i den generelle løsningen over.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Realist1
Euclid
Euclid
Posts: 1993
Joined: 30/01-2007 20:39

Nebuchadnezzar wrote:[tex] \left( {z + h} \right)\ln \left( {\frac{z}{h} + 1} \right) - \left( {z + h} \right) = C [/tex]

[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h} + 1} \right)}^{\left( {z + h} \right)}}} \right) - \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C} = 1[/tex]

[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h}} \right)}^{\left( {z + h} \right)}} + 1} \right) = 1 + \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C} [/tex]
Hva gjør du mellom linje 1 og linje 2 her? Deler på C? Hvorfor deler du i så fall bare det ene leddet på venstre side med C? Jeg er heller ikke helt med på hvordan +1 plutselig dukker opp inni logaritmeparantesen.

For å sjekke om du har riktig foreløpig, er det vel bare til å sette inn verdier for de ukjente og se om du får samme resultat i første linje som siste. Ikke en bombesikker metode, men treffer du blink, så er det ganske sannsynlig riktig. Jeg har ikke sjekket uttrykket ditt, men du kan kanskje gjøre det selv?

[tex] \left( {z + h} \right)\ln \left( {\frac{z}{h} + 1} \right) = C + h + z[/tex]
får jeg, i alle fall, og dermed blir det vel som du sier;
[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h} + 1} \right)}^{\left( {z + h} \right)}}} \right) = C+h+z[/tex]

Mer enn dette kan jeg ikke se, om det er riktig i det hele tatt.

Kan jo leke deg med å dele på (z+h), eller å fjerne ln på venstre side og opphøye e med høyre side. Og slikt. Men jeg ser ikke hvordan det skulle føre frem.
Realist1
Euclid
Euclid
Posts: 1993
Joined: 30/01-2007 20:39

Betelgeuse wrote:Har likningen

[tex](z+h)(\ln \left(\frac{z+h}{h} \right) -1) = C[/tex]

hvor h og C er konstanter.. Skal løse ut for z og få at dette er en ny konstant. Ser ikke hvordan jeg kan løse ut for z i denne likningen uten å få en eksponentialfunksjon av z..
[tex](\ln \left(\frac{z+h}{h} \right) -1) = \frac{C}{z+h}[/tex]

[tex]\ln \left(\frac{z+h}{h} \right) = \frac{C}{z+h} + 1[/tex]

[tex]\frac{z+h}{h} = e^{\left(\frac{C}{z+h} + 1\right)}[/tex]

[tex]\frac{z+h}{eh} = e^{\left(\frac{C}{z+h}\right)}[/tex]

[tex]\left(\frac{z+h}{eh}\right)^{(z+h)} = e^C[/tex]

Går jo an å leke seg, men å få dette til å føre frem ...
Last edited by Realist1 on 10/02-2010 23:30, edited 1 time in total.
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

Markonan wrote: [tex]\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1 = W(\frac{C}{h\cdot e})[/tex]
Hvis jeg fortsetter, så blir dette:
[tex]\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1 = W(\frac{C}{h\cdot e})[/tex]

[tex]\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\exp\left\{\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right\} = \frac{C}{h\cdot e}[/tex]

[tex]h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\exp\left\{\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right\} = C[/tex]

Uttrykket på venstresiden er faktisk det samme som man startet med.
Jeg ser det ikke, men sjekket det igjen i Matlab. Ga z og h noen tilfeldige verdier, og ser at begge utrykkene gir de samme verdiene.

Code: Select all

>> z = 3; h = 0.5;
>> b = (z+h)/h;

>> (z+h)*(log(b)-1)

ans =

    3.3107

>> h*exp(1)*(log(b)-1)*exp(log(b)-1)

ans =

    3.3107
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

Markonan wrote: [tex]h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\exp\left\{\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right\} = C[/tex]
Ah, nå så jeg det!

[tex]h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\exp\left\{\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right\} = C[/tex]

[tex]h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\left(\frac{z + h}{h}\right)\cdot e^{ - 1} = C[/tex]

[tex]h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\left(\frac{z + h}{h\cdot e}\right) = C[/tex]

[tex]\left(\frac{z + h}{h\cdot e}\right)h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right] = C[/tex]

[tex](z + h)\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right] = C[/tex]

Da er det bare å starte nederst å jobbe deg bakover i de tre forrige innleggene mine. :D

Jeg vet ikke om det finnes en annen løsning... men nå orker jeg ikke jobbe mer med denne. :P
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Betelgeuse
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 260
Joined: 16/04-2009 21:41

Hehe, jeg forstår. Den var ikke helt triviell :)
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Post Reply