Likning..

[Betelgeuse]

Har likningen

[tex](z+h)(\ln \left(\frac{z+h}{h} \right) -1) = C[/tex]

hvor h og C er konstanter.. Skal løse ut for z og få at dette er en ny konstant. Ser ikke hvordan jeg kan løse ut for z i denne likningen uten å få en eksponentialfunksjon av z..

[Markonan]

Fiklet litt med denne, men klarte det ikke.
Sjekket Matlab.

Code: Select all

>> syms z h C
>> solve('(z+h)*(log((z+h)/h) - 1) = C', z)
 
ans =
 
exp(lambertw(1/h*C*exp(-1))+1)*h-h

Så da blir det frem med omegafunksjonen.

[Nebuchadnezzar]

Føy å få trene litt på algebraen, ser dette riktig ut ?

Er litt usikker på hva man skal gjøre videre, men antar at det bare er å bruke lambert w funksjonen. dog er jeg litt usikker... Hadde vært greit å få avkreftet eller bekreftet om algebraen min er riktig ^^


[tex] \left( {z + h} \right)\left( {\ln \left( {\frac{{z + h}}{h}} \right) - 1} \right) = C [/tex]

[tex] \left( {z + h} \right)\ln \left( {\frac{z}{h} + 1} \right) - \left( {z + h} \right) = C [/tex]

[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h} + 1} \right)}^{\left( {z + h} \right)}}} \right) - \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C} = 1[/tex]

[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h}} \right)}^{\left( {z + h} \right)}} + 1} \right) = 1 + \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C} [/tex]

[tex] {\left( {\frac{z}{h}} \right)^{\left( {z + h} \right)}} + 1 = {e^{(1 + \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C}})} [/tex]

[Markonan]

[tex] \left( {z + h} \right)\ln \left( {\frac{z}{h} + 1} \right) - \left( {z + h} \right) = C [/tex]

[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h} + 1} \right)}^{\left( {z + h} \right)}}} \right) - \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C} = 1[/tex]

I dette steget burde du vel delt begge leddene på venstresiden med C?

I følge wikipedia brukes omegafunksjonen slik:
[tex]Xe^X = Y \;\Longleftrightarrow \; X = W(Y)[/tex]

Jeg begynte litt med uttrykket jeg fikk i Matlab, og prøvde å regne meg bakover. Så når man leverer oppgaven inn, så bare skriver man utregningen i omvendt rekkefølge og ser superproff ut.

[tex]z = h\cdot\exp\left\{W(\frac{C}{h\cdot e})+1\right\}-h[/tex]

[tex]z + h = h\cdot\exp\left\{W(\frac{C}{h\cdot e})+1\right\}[/tex]

[tex]\frac{z + h}{h} = \exp\left\{W(\frac{C}{h\cdot e})+1\right\}[/tex]

[tex]\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) = W(\frac{C}{h\cdot e})+1[/tex]

[tex]\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1 = W(\frac{C}{h\cdot e})[/tex]

Her blir jeg litt usikker. Skjønner ikke hvordan det jeg har på venstresiden kan være er X i den generelle løsningen over.

[Realist1]

[tex] \left( {z + h} \right)\ln \left( {\frac{z}{h} + 1} \right) - \left( {z + h} \right) = C [/tex]

[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h} + 1} \right)}^{\left( {z + h} \right)}}} \right) - \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C} = 1[/tex]

[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h}} \right)}^{\left( {z + h} \right)}} + 1} \right) = 1 + \frac{{\left( {z + h} \right)}}{C} [/tex]

Hva gjør du mellom linje 1 og linje 2 her? Deler på C? Hvorfor deler du i så fall bare det ene leddet på venstre side med C? Jeg er heller ikke helt med på hvordan +1 plutselig dukker opp inni logaritmeparantesen.

For å sjekke om du har riktig foreløpig, er det vel bare til å sette inn verdier for de ukjente og se om du får samme resultat i første linje som siste. Ikke en bombesikker metode, men treffer du blink, så er det ganske sannsynlig riktig. Jeg har ikke sjekket uttrykket ditt, men du kan kanskje gjøre det selv?

[tex] \left( {z + h} \right)\ln \left( {\frac{z}{h} + 1} \right) = C + h + z[/tex]
får jeg, i alle fall, og dermed blir det vel som du sier;
[tex] \ln \left( {{{\left( {\frac{z}{h} + 1} \right)}^{\left( {z + h} \right)}}} \right) = C+h+z[/tex]

Mer enn dette kan jeg ikke se, om det er riktig i det hele tatt.

Kan jo leke deg med å dele på (z+h), eller å fjerne ln på venstre side og opphøye e med høyre side. Og slikt. Men jeg ser ikke hvordan det skulle føre frem.

[Realist1]

Har likningen

[tex](z+h)(\ln \left(\frac{z+h}{h} \right) -1) = C[/tex]

hvor h og C er konstanter.. Skal løse ut for z og få at dette er en ny konstant. Ser ikke hvordan jeg kan løse ut for z i denne likningen uten å få en eksponentialfunksjon av z..

[tex](\ln \left(\frac{z+h}{h} \right) -1) = \frac{C}{z+h}[/tex]

[tex]\ln \left(\frac{z+h}{h} \right) = \frac{C}{z+h} + 1[/tex]

[tex]\frac{z+h}{h} = e^{\left(\frac{C}{z+h} + 1\right)}[/tex]

[tex]\frac{z+h}{eh} = e^{\left(\frac{C}{z+h}\right)}[/tex]

[tex]\left(\frac{z+h}{eh}\right)^{(z+h)} = e^C[/tex]

Går jo an å leke seg, men å få dette til å føre frem ...

[Markonan]

[tex]\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1 = W(\frac{C}{h\cdot e})[/tex]

Hvis jeg fortsetter, så blir dette:
[tex]\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1 = W(\frac{C}{h\cdot e})[/tex]

[tex]\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\exp\left\{\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right\} = \frac{C}{h\cdot e}[/tex]

[tex]h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\exp\left\{\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right\} = C[/tex]

Uttrykket på venstresiden er faktisk det samme som man startet med.
Jeg ser det ikke, men sjekket det igjen i Matlab. Ga z og h noen tilfeldige verdier, og ser at begge utrykkene gir de samme verdiene.

Code: Select all

>> z = 3; h = 0.5;
>> b = (z+h)/h;

>> (z+h)*(log(b)-1)

ans =

    3.3107

>> h*exp(1)*(log(b)-1)*exp(log(b)-1)

ans =

    3.3107

[Markonan]

[tex]h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\exp\left\{\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right\} = C[/tex]

Ah, nå så jeg det!

[tex]h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\exp\left\{\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right\} = C[/tex]

[tex]h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\left(\frac{z + h}{h}\right)\cdot e^{ - 1} = C[/tex]

[tex]h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right]\left(\frac{z + h}{h\cdot e}\right) = C[/tex]

[tex]\left(\frac{z + h}{h\cdot e}\right)h\cdot e\cdot\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right] = C[/tex]

[tex](z + h)\left[\ln\left(\frac{z + h}{h}\right) - 1\right] = C[/tex]

Da er det bare å starte nederst å jobbe deg bakover i de tre forrige innleggene mine.

Jeg vet ikke om det finnes en annen løsning... men nå orker jeg ikke jobbe mer med denne.

[Betelgeuse]

Hehe, jeg forstår. Den var ikke helt triviell