Iterated exponentiation, tetration

[Charlatan]

For enhver følge [tex]c_n[/tex] er [tex]\lim_{n \to \infty}c_{n-1}=\lim_{n \to \infty}c_{n}[/tex].

Den "kommer fra" den opprinnelige likningen bare ved å ta logaritmen. Hvis [tex]\lim_{n \to \infty}b_n = B[/tex], så er [tex]f(\lim_{n \to \infty}b_n) = f(B)[/tex] og [tex]\lim_{n \to \infty}f(b_n) = f(B)[/tex] for enhver kontinuerlig funksjon f, i dette tilfellet [tex]\log[/tex].

[wingeer]

Ja, riktig. For det går mot uendelig uansett.
Aha, så det er på en måte lov å "trekke ut" grenseverditegnet gjennom logaritmen?
Ergo er [tex]ln(\lim_{n \to \infty} x^{[n]}) = \lim_{n \to \infty}(lnx^{[n]})=lna[/tex].

[Charlatan]

Du kan si det på den måten. Det man egentlig gjør er bare å bruke at [tex]\lim_{n \to \infty} f(c_n)=f(\lim_{n \to \infty} c_n)[/tex] for kontinuerlige funksjoner.

[wingeer]

Nå måtte jeg faktisk bla litt i kalkulusboka, for akkurat den hadde jeg ikke helt inne.
Jeg kom frem til at:
[tex]x=e^{\frac{lna}{a}}[/tex].
Er dette riktig?

[Charlatan]

Det stemmer ja. Hvis du vil, kan du forøvrig finne konvergensintervallet til x ved å ta utgangspunkt i formen x må ha.

[wingeer]

Hurra! Dette var "ukas utfording" på en øving nemlig.
Ja, det tror jeg jammen jeg skal prøve meg på. Jeg må bare lese om konvergensintervall først.

[Nebuchadnezzar]

Veldig veldig pent. I funksjonen som Winger oppga, om vi setter [tex]a=2 [/tex]så får vi at [tex]x=sqrt{2}[/tex] som åpenbart stemmer.

[tex]\sqrt{2}^{sqrt{2}^sqrt{2}^{...}=2[/tex]

Men om vi setter [tex]a=4[/tex] hvorfor får vi da at [tex]x=sqrt{2}[/tex]?

Er ikke så flink, men hadde vært hyggelig om noen kunne forklare ^^

[wingeer]

Om a=4 får vi [tex]\frac{ln4}{4} \to \frac{ln2^2}{4} \to \frac{2ln2}{4} \to \frac{ln2}{2}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Om jeg får omformulere spørsmålet mitt hvorfor gir

[tex]sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{...}}}=2[/tex]

og

[tex]sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{...}}}=4 [/tex]

Pga at

[tex]f(a)=e^{\frac{\ln{a}}{a}}[/tex]

[tex]f(2)=\sqrt{2} \, \text{og} \, f(4)=\sqrt{2}[/tex]

[Gustav]

Edit: Glemt dette innlegget . Når man ikke tenker før man skriver blir det fort slurvete og feil.

Det betyr simpelthen at følgen [tex]x^{[n]}[/tex] ikke konvergerer for [tex]x=\sqrt{2}[/tex]. (Husk at det ligger i premisset for oppgaven at følgen konvergerer mot en verdi a)


Hvis du plotter [tex]f(x)=x^{\frac1x}[/tex] ser du at denne funksjonen ikke er injektiv.

[Charlatan]

Men om vi setter [tex]a=4[/tex] hvorfor får vi da at [tex]x=sqrt{2}[/tex]?

Er ikke så flink, men hadde vært hyggelig om noen kunne forklare ^^

Man antok i utgangspunktet at potenstårnet kunne konvergere mot a. Dette gjelder ikke for alle a, og spesielt ikke for [tex]a=4[/tex].

Det betyr simpelthen at følgen [tex]x^{[n]}[/tex] ikke konvergerer for [tex]x=\sqrt{2}[/tex]. (Husk at det ligger i premisset for oppgaven at følgen konvergerer mot en verdi a)

[tex]x^{[n]}[/tex] konvergerer såvisst for [tex]x = \sqrt{2}[/tex].

Problemet er at utledningen fra utgangspunktet ikke går begge veier.


@wingeer:

For å finne konvergensintervallet for x, finner du verdimengden til [tex]e^{\frac{\log a}{a}}[/tex] for enhver reell a, men husk at dersom x er i dette intervallet så må ikke potenstårnet nødvendigvis konvergere.
Man har bare vist at dersom potenstårnet konvergerer, så må x befinne seg i intervallet. Det gjenstår å vise at x faktisk konvergerer for hver x i intervallet.

Dette er måten man må gjøre det på, for man har i utgangspunktet ingen anelse om hvilke [tex]a[/tex] et potenstårn kan konvergere mot.

[Nebuchadnezzar]

http://www.mathhelpforum.com/math-help/ ... -expon.pdf

Artig lesning

Deriverte funksjonen og fant ut at toppunktet til [tex]f(a)[/tex] var [tex](e,e^{\frac{1}{e}})[/tex]

Som gir verdimengden [tex]0<x<e^{\frac{1}{e}}[/tex]

fra her må vi teste alle verdier av [tex]x[/tex] for å sjekke om funksjonen konvergerer ? Virker som mye arbeid...

[Charlatan]

Som gir verdimengden [tex]0<x<e^{\frac{1}{e}}[/tex]

fra her må vi teste alle verdier av [tex]x[/tex] for å sjekke om funksjonen konvergerer ? Virker som mye arbeid...

Intervallet er faktisk [tex][e^{-e},e^{\frac{1}{e}}][/tex]. Og ja, man har til nå bare vist at dersom potenstårnet konvergerer, så ligger x i dette intervallet. Ikke det omvendte.

[wingeer]

Det er svært lett å finne ut den øvre grensen for konvergensintervallet. Jeg sliter derimot litt mer med å finne den nedre. Grenseverdier? Inversfunksjoner? Jeg kaster ut stikkord.

[Charlatan]

Bunnpunkt burde vel være et passende stikkord...