Summen av uendelig rekker

[ME90]

Kan noen hjelpe meg i gang med denne oppgaven, skal finne summen av rekken..

[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (1/(1+n^2))
n=1

[Markonan]

Du må enten bruke en av testene (som forholdstesten, M-testen) eller du kan se om du finner ut noe av å bare se på selve følgen og ikke rekken.

[ME90]

kan jeg og bruke integral testen eller fungerer bare de to?

[Nebuchadnezzar]

Ja, integral-testen fungerer den og. Kanskje du burde begynne å prøve den

[ME90]

lim [symbol:integral] 1/(1+n^2)
N-> [symbol:uendelig]

(integralet: N oppe, 1 nede)

integrerer og får tan^(-1) x
tan^(-1) [symbol:uendelig] - tan^(-1) 1 = [symbol:pi] /4

Høres det rett ut..?

[fish]

Integraltesten kan brukes til å vise at rekka konvergerer (slik du viser), men den kan jo ikke brukes til å finne ut hva summen av rekka blir. Det var vel det du spurte om.
For å finne rekkens sum, er det vanlig å bruke fourierrekker eller kompleks integrasjon.

[Markonan]

Woops! Leste feil! Dårlig hjelp fra meg der.

[ME90]

okei ja.. kan noen hjelpe meg i gang ved enten fourierrekker eller kompleks integrasjon?

[fish]

Summen av rekka skal komme som et biprodukt av fourierrekka til funksjonen [tex]f(x)=e^x[/tex] på intervallet [tex][-\pi,\pi][/tex].

[ME90]

Vi har ikke hatt om fourier rekker, er det ikke andre måter å finne summen på?

[Janhaa]

Kan noen hjelpe meg i gang med denne oppgaven, skal finne summen av rekken..
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (1/(1+n^2))
n=1

summen er iallfall

http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... 1+to+%2Boo

[Gustav]

Anta at [tex]f(t)=...+a_{-2}e^{-2ti}+a_{-1}e^{-ti}+a_{0}+a_{1}e^{ti}+a_{2}e^{2ti}+...[/tex]

Definér indreproduktet

[tex]<g,h>=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g\overline{h}\,dt[/tex]

Da vil [tex]\{e^{kti}\}_{k\in \mathbb{Z}}[/tex] være en ortonormal basis for Hilbertrommet av kvadratisk integrerbare funksjoner på intervallet [tex][-\pi,\pi ][/tex] med indreproduktet definert som over, og koeffisientene [tex]a_k[/tex] vil være gitt ved

[tex]a_k=<f, e^{kti}>[/tex].

og

[tex]<f,f>=\sum_k |a_k|^2[/tex]

Problemet blir å finne en funksjon [tex]f[/tex] slik at koeffisientene sammenfaller med den rekka du vil finne summen til.