Summen av uendelig rekker

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
ME90
Cayley
Cayley
Posts: 51
Joined: 02/09-2009 18:05

Kan noen hjelpe meg i gang med denne oppgaven, skal finne summen av rekken..

[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (1/(1+n^2))
n=1
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

Du må enten bruke en av testene (som forholdstesten, M-testen) eller du kan se om du finner ut noe av å bare se på selve følgen og ikke rekken.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
ME90
Cayley
Cayley
Posts: 51
Joined: 02/09-2009 18:05

kan jeg og bruke integral testen eller fungerer bare de to?
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Ja, integral-testen fungerer den og. Kanskje du burde begynne å prøve den ;)
ME90
Cayley
Cayley
Posts: 51
Joined: 02/09-2009 18:05

lim [symbol:integral] 1/(1+n^2)
N-> [symbol:uendelig]

(integralet: N oppe, 1 nede)

integrerer og får tan^(-1) x
tan^(-1) [symbol:uendelig] - tan^(-1) 1 = [symbol:pi] /4

Høres det rett ut..?
fish
von Neumann
von Neumann
Posts: 527
Joined: 09/11-2006 12:02

Integraltesten kan brukes til å vise at rekka konvergerer (slik du viser), men den kan jo ikke brukes til å finne ut hva summen av rekka blir. Det var vel det du spurte om.
For å finne rekkens sum, er det vanlig å bruke fourierrekker eller kompleks integrasjon.
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

Woops! Leste feil! Dårlig hjelp fra meg der. :D
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
ME90
Cayley
Cayley
Posts: 51
Joined: 02/09-2009 18:05

okei ja.. kan noen hjelpe meg i gang ved enten fourierrekker eller kompleks integrasjon?
fish
von Neumann
von Neumann
Posts: 527
Joined: 09/11-2006 12:02

Summen av rekka skal komme som et biprodukt av fourierrekka til funksjonen [tex]f(x)=e^x[/tex] på intervallet [tex][-\pi,\pi][/tex].
ME90
Cayley
Cayley
Posts: 51
Joined: 02/09-2009 18:05

Vi har ikke hatt om fourier rekker, er det ikke andre måter å finne summen på?
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

ME90 wrote:Kan noen hjelpe meg i gang med denne oppgaven, skal finne summen av rekken..
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (1/(1+n^2))
n=1
summen er iallfall

http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... 1+to+%2Boo
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Anta at [tex]f(t)=...+a_{-2}e^{-2ti}+a_{-1}e^{-ti}+a_{0}+a_{1}e^{ti}+a_{2}e^{2ti}+...[/tex]

Definér indreproduktet

[tex]<g,h>=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g\overline{h}\,dt[/tex]

Da vil [tex]\{e^{kti}\}_{k\in \mathbb{Z}}[/tex] være en ortonormal basis for Hilbertrommet av kvadratisk integrerbare funksjoner på intervallet [tex][-\pi,\pi ][/tex] med indreproduktet definert som over, og koeffisientene [tex]a_k[/tex] vil være gitt ved

[tex]a_k=<f, e^{kti}>[/tex].

og

[tex]<f,f>=\sum_k |a_k|^2[/tex]

Problemet blir å finne en funksjon [tex]f[/tex] slik at koeffisientene sammenfaller med den rekka du vil finne summen til.
Post Reply