Skjæringsegenskap og kontinuitet

[FredrikM]

Stusser litt over obligen i MAT2400 (Analyse 1) nå. I oppg 3c skal vi vise at en funskjon er kontinuerlig hvis den oppfyller skjæringsegenskapen og en annen egenskap.

Det jeg lurer på, er følgende: Finnes det funksjoner som oppfyller skjæringsegenskapen, men som ikke er kontinuerlige?

(Skjæringsegenskapen: Hvis a < b og f(a) < c f(b) eller f(a) > c > f(b) så eksisterer d slik at f(d)=c)

[Markonan]

Jeg tror ikke det. Kontinuitet brukes jo i beviset for skjæringsegenskapen.
Tror heller dette bare er ment som en øvelse i å bruke definisjoner og teoremer til å utføre et bevis.

[FredrikM]

Kontinuitet brukes jo i beviset for skjæringsegenskapen.

Ja, sant. Men selv om kontinuitet impliserer skjæringsegenskap, så betyr ikke det nødvendigvis at skjæringsegenskap impliserer kontinuitet.

[Markonan]

Ouff! Merker jeg må varme opp noen hjerneceller som har ligget i dvale noen år nå.

Det ser uansett ut til at du har rett. Måtte fyre opp MS Paint.

Hvis vi antar a<b og f(a)<f(b). Hvis du nå velger en verdi x slik at f(a)<x<f(b) så skal du alltid kunne finne en c € [a,b] slik at x = f(c).



Funksjonen på høyre oppfyller vel skjæringsegenskapen, men er ikke kontinuerlig.
Man unngår det hvis man antar at den er injektiv i tillegg.

[FredrikM]

Tror ikke den til høyre oppfyller skjæringsegenskapen. La m være slik at f(m)={det punktet oppe akkurat før "hakket"} og la n være et tall slik at f(n) er nedenfor hakket. Da eksisterer det ingen k [tex]\in (m,n)[/tex] slik at f(k)={noe mellom f(m) og f(n)}.

(stygg notasjon, men vanskelig å ordlegge seg av og til)

[Markonan]

Ok, men teoremet sier vel ikke noe om alle delintervaller?

Slik teoremet står her (versjon 1):
http://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
tolker jeg det som at funksjonen til høyre oppfyller de betingelsene.

[FredrikM]

Ikke teoremet, men skjæringsegenskapen.

Men spørsmålet mitt ble egentlig besvart i artikkelen du linket til.

Suppose f is a real-valued function defined on some interval I, and for every two elements a and b in I and for all u in the open interval bounded by f(a) and f(b) there is a c in the open interval bounded by a and b so that f(c) = u. Does f have to be continuous? The answer is no; the converse of the intermediate value theorem fails.

As an example, take the function f : [0, ∞) → [−1, 1] defined by f(x) = sin(1/x) for x > 0 and f(0) = 0. This function is not continuous at x = 0 because the limit of f(x) as x tends to 0 does not exist; yet the function has the above intermediate value property.

[Gustav]

Poenget med oppgaven er å bruke nettopp dette med at inversebildet av et rasjonalt tall r er lukket. Se nøyere på mengden t_n og vis at den ikke er lukket.

[FredrikM]

Jeg tenker slik:

Siden [tex]f(t_n)=r[/tex] for alle n, konvergerer [tex]f(t_n)[/tex] mot r, og siden den omtalte mengden er lukket, må [tex]x_0[/tex] være med i mengden. Men dette er en selvmotsigelse siden vi antok at [tex]r < f(x_0)[/tex]

[Gustav]

Ja, det stemmer. Eventuelt kunne du vist at t_n går mot x_0, og siden vi vet at x_0 ikke er i inversebildet f^-1(r) vil x_0 måtte være i komplementet. Men siden enhver omegn om x_0 vil inneholde elementer fra følgen t_n, vil ikke komplementet kunne være åpent, så inversbildet er ikke lukket.

[Markonan]

Skjæringssetningen og skjæringsegenskapen!
Sånn går det når man ikke passer på.

[Charlatan]

Poenget med oppgaven er å bruke nettopp dette med at inversebildet av et rasjonalt tall r er lukket.

Dette stemmer vel ikke generelt for funksjoner. Prøver oppgaven å vise på generelt grunnlag at funksjoner som ikke er kontinuerlige heller ikke tilfredsstiller skjæringssegenskapen?

[Gustav]

Ifølge oppgaven er dette noe man skulle anta var sant såvidt jeg skjønner.


Det står at man skal anta at for hvert rasjonalt tall r er mengden {x:f(x)=r} lukket

På generelt grunnlag er det vel ikke riktig nei, men med denne tilleggsbetingelsen er det tydeligvis slik

[Charlatan]

Ifølge oppgaven er dette noe man skulle anta var sant såvidt jeg skjønner.


Det står at man skal anta at for hvert rasjonalt tall r er mengden {x:f(x)=r} lukket

Ja, riktig. Oppgaven belyste altså ikke spørsmålet om at skjæringsegenskapen medførte kontinuitet. Virket for meg som det var poenget.