Lineærtransformasjon og direkte sum

[FredrikM]

Jobber med en oblig. Oppgaven er som følger

La V være et endeligdimensjonalt vektorrom over R eller C. La T være en lineærtransformasjon [tex]T:V\to V[/tex], og anta [tex]R(T)=R(T^2)[/tex] (R(T) er bildet av T). Begrunn at [tex]N(T)=N(T^2)[/tex]. Begrunn deretter at [tex]V=R(T) \oplus N(T)[/tex]

Det eneste jeg har, flaut nok, har klart å vise er at R(T) og N(T) er uavhengige underrom. Har ikke klart å vise at [tex]V=R(T)+N(T)[/tex]. Inklusjonen [tex]N(T) \subset N(T^2)[/tex] er triviell.

Jeg tør gjette på at problemet ligger i at jeg ikke klarer å bruke at V er endeligdimensjonalt.

Noen som kan komme med noen subtile hint?

[Gustav]

Hva er N(T) ?

[FredrikM]

Nullrommet til T. ([tex]N(T)=\left\{ v \in V | T(v)=0 \right\}[/tex])

[Gustav]

Ok, nå er det en stund siden jeg har holdt på med lineæralgebra.

Det som gjenstår er altså, slik jeg forstår det, å vise inklusjonene

[tex]R(T)+N(T) \subseteq V \\ V \subseteq R(T)+N(T) \\ N(T^2) \subseteq N(T) [/tex]

Stemmer det? Den første der er vel triviell..

[FredrikM]

Ja, stemmer. For å vise nr 2 har boken pleid å gjøre det omtrent slik:

La [tex]v \in V[/tex]. Anta vi skulle vise at [tex]V=A \oplus B[/tex], så skriver boken v som en sum av en vektor i A og en i B. Dermed er [tex]V=A+B[/tex] (så gjenstår bare uavhengigheten - det har jeg allerede klart å vise i dette tilfellet, forresten)

v kan f.eks skrives som [tex]v=T(v)+v-T(v)[/tex], men jeg tror ikke det virker i dette tilfellet.

[Gustav]

[tex]R(T)=R(T^2)[/tex]

Elementene i [tex]R(T)[/tex] er på formen [tex]Tv[/tex] mens elementene i [tex]R(T^2) [/tex] er på formen [tex]T^2w[/tex].

Så for en vilkårlig v i V, fins det en w i V slik at [tex]Tv=T^2w[/tex] (så v-Tw er i N(T) )

Skriv så

[tex]v=(v-Tw)+Tw[/tex]...

[FredrikM]

Å, var det så enkelt. Jaja - jeg var liksom inne på den, men var aldri smart nok til å tenke mer. Takker.

Så for å vise at [tex]N(T)=N(T^2)[/tex]?

[Gustav]

La [tex]v[/tex] være et element i [tex]N(T^2)[/tex].

Da er [tex]T^2v=T(Tv)=0[/tex] som betyr at [tex]Tv[/tex] er i [tex]N(T)[/tex]






Siden [tex]Tv[/tex] også er i [tex]R(T)[/tex] og snittet mellom [tex]N(T)[/tex] og [tex]R(T)[/tex] kun består av nullelementet, må [tex]Tv=0[/tex], så [tex]v[/tex] er i [tex]N(T)[/tex]

[FredrikM]

At [tex]N(T) \cap R(T) = \left\{ 0 \\right\}[/tex] gjelder vel ikke generelt?

Fant et moteksempel:
La [tex]T:R^2\to R^2[/tex] være gitt ved [tex]T(a,b)=(b,0)[/tex]. Da er [tex]R(T)=N(T)[/tex], så de kan ikke være disjunkte.

- - -

Gjorde et nettsøk, og kom over et bevis for at [tex]N(T)=N(T ^2)[/tex] (gitt forutsetningene ovenfor):

Fra dimensjonsteoremet er (her bruker vi at V er endeligdimensjonalt)
[tex]\dim N(T)+\dim R(T)=\dim V[/tex]
og [tex]\dim N(T^2)+\dim R(T^2)=\dim V[/tex]

Det er klart at [tex]N(T)[/tex] er et underrom av [tex]N(T^2)[/tex]. Fra ligningene over og at [tex]\dim R(T)=\dim R(T^2)[/tex] følger det at [tex]N(T)[/tex] og [tex]N(T^2)[/tex] må ha samme dimensjon. Dermed må de være like.

Edit: Skriveleif.

[Gustav]

Hm, i moteksempelet ditt er vel ikke R(T)=R(T^2) siden R(T) er hele x-aksen, mens R(T^2) er kun origo.

Må ikke snittet bestå kun av null for at V skal kunne skrives som en direktesum?

[FredrikM]

Må ikke snittet bestå kun av null for at V skal kunne skrives som en direktesum?

Jo, men for å bevise det, trenger vi at [tex]N(T)=N(T^2)[/tex]:

La [tex]v \in R(T) \cap N(T)[/tex]. Da er [tex]T(v)=0[/tex] og det eksisterer [tex]v^,[/tex] slik at [tex]T(v^,)=v[/tex]. Vi har dermed at [tex]v^, \in N(T^2)[/tex]. Men siden [tex]N(T)=N(T^2)[/tex], så er også [tex]T(v^,)=0[/tex]. Men dermed er [tex]v=T(v^,)=0[/tex], så [tex]R(T)\cap N(T) = \left\{ 0 \right\}[/tex]. Og vi er ferdige.
---
Mulig beviset over kan modifiseres slik at vi ikke bruker at [tex]N(T)=N(T^2)[/tex].

[Karl_Erik]

Anta at det finnes en [tex]v[/tex] som både er i nullrommet og bildet til [tex]T[/tex]. Vi har da at det finnes [tex]a[/tex] slik at [tex]Ta=v[/tex], som gir [tex]T^2a=Tv=0[/tex], så [tex]a \in N(T^2)[/tex]. Siden [tex]N(T)=N(T^2)[/tex] må vi da også ha at [tex]a \in N(T)[/tex], som gir [tex]Ta=0[/tex], og [tex]v=Ta=0[/tex].

At vi ikke kan droppe hypotesen om at [tex]N(T)=N(T^2)[/tex] (eller ekvivalent at [tex]R(T)=R(T^2)[/tex]) følger av eksempelet postet litt tidligere definert ved [tex]T(a,b)=(b,0)[/tex], der [tex]N(T^2) \not = N(T)[/tex]. Der er snittet mellom bildet og nullrommet til [tex]T[/tex] større enn bare nullvektoren.

EDIT: Litt sen der, kanskje.

[Gustav]

Nettopp, jeg tok visst noe forgitt her ja. Beklager.

Jeg antar at det skal være [tex]R(T^2)[/tex] og ikke [tex]R(T)[/tex] i det beviset du refererer til i andre linja, Fredrik.

[FredrikM]

Du har helt rett. Retter nå.