Hei jeg har en litt kranglete sum her som skal bli til [tex]e^x[/tex].
Summen er
[tex]\sum_0^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \sum_0^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex].
Dette skal altså blir til [tex]e^x = \sum_0^\infty \frac{x^n}{n!}[/tex]. Ser lett at det stemmer ved å skrive ut summene, men er det mulig å ende opp med samme summeutrykk ved å manipulere summene over s.a man ender opp med
[tex]\sum_0^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \sum_0^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_0^\infty \frac{x^n}{n!} [/tex].
Jeg prøvde, men fikk ikke til. Fakultetene ødelegger.
Uendelig sum.
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Ramanujan
- Posts: 260
- Joined: 16/04-2009 21:41
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Det er smått åpenlyst at [tex]\sum_0^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \sum_0^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_0^\infty \frac{x^n}{n!}[/tex]
når du tenker på at den ene summen går over alle odde n og den andre over alle like n.
når du tenker på at den ene summen går over alle odde n og den andre over alle like n.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
-
- Ramanujan
- Posts: 260
- Joined: 16/04-2009 21:41
Jepp. Og jeg nevnte at jeg så det måtte være sånn. Men jeg lurte på om det gikk ann å komme dit ved å manipulere summeformlene.
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Ikke på noen veldig åpenlys måte jeg kommer på nå. Men er det egentlig noe poeng i (rent bortsett fra å øve seg med bokstavregning)? Likheten er helt åpenlys med forklaringen i min forrige post. Du trenger ikke vise den noe mer nøye enn det. (med mindre du blir *bedt* om å vise det algebraisk, da)
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Når wolfram ikke viser noe mellomregning på overgangen tror jeg du kan gi opp :p
Code: Select all
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+x^%282n%29%2F%28%282n%29!%29+%2B+x^%282n%2B1%29%2F%28%282n%2B1%29!%29+from+n+%3D+0+to+infty
-
- Ramanujan
- Posts: 260
- Joined: 16/04-2009 21:41
Hehe, allright da legger jeg den på hylla. FredrikM, det var egentlig et ønske om å bli bedre med manipulasjon av summetegn og fakultet 
Du har rett i at likheten er åpenlys.

Du har rett i at likheten er åpenlys.
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
-
- Grothendieck
- Posts: 828
- Joined: 13/10-2007 00:33
Du kan jo prøve å forenkle denne rekken:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \ \frac{n^2-n+1}{n!}\cdot x^n[/tex]
Er en oppgave vi fikk på obligen vår
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \ \frac{n^2-n+1}{n!}\cdot x^n[/tex]
Er en oppgave vi fikk på obligen vår

Kunne ikke dy meg (god øvelse, forresten). Lar det være litt rom her, slik at andre kan prøve uten å få løsningen med én gang:Andreas345 wrote:Du kan jo prøve å forenkle denne rekken:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \ \frac{n^2-n+1}{n!}\cdot x^n[/tex]
Er en oppgave vi fikk på obligen vår
*
*
*
*
*
*
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n+1}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{n^2-n}{n!} x^n[/tex]
[tex]e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-2)!}x^n=e^x+\frac{1}{x^2}\sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}{(n-2)!}=e^x+\frac{1}{x^2}e^x[/tex]
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Jeg får det til å bli [tex]e^x\left(1+x^2)[/tex].FredrikM wrote: [tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n+1}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{n^2-n}{n!} x^n[/tex]
[tex]e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-2)!}x^n=e^x+\frac{1}{x^2}\sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}{(n-2)!}=e^x+\frac{1}{x^2}e^x[/tex]
Ved [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{(n-2)!}[/tex] setter jeg [tex]m = n-2 \Leftrightarrow n = m+2[/tex], som gir
[tex]\sum_{m=-2}^{\infty}\frac{x^{m+2}}{m!} = x^2\sum_{m=-2}^{\infty}\frac{x^m}{m!}[/tex]
Mahtworld sier at [tex] n! = \tilde{\infty}, \quad n < 0[/tex], slik at for [tex]m = -1, m = -2[/tex] vil leddene være lik null, og en ender da opp med uttrykket jeg skrev over.
Så får noen andre si i fra om det er noe feil i utregningen

Last edited by drgz on 16/05-2010 17:47, edited 1 time in total.
Det er nok som claudeShannon sier en liten feil her - du mente nok [tex]x^2[/tex] og ikke [tex]\frac 1 {x^2}[/tex]. Ellers ser dette riktig ut for meg.FredrikM wrote:Kunne ikke dy meg (god øvelse, forresten). Lar det være litt rom her, slik at andre kan prøve uten å få løsningen med én gang:Andreas345 wrote:Du kan jo prøve å forenkle denne rekken:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \ \frac{n^2-n+1}{n!}\cdot x^n[/tex]
Er en oppgave vi fikk på obligen vår
*
*
*
*
*
*
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n+1}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{n^2-n}{n!} x^n[/tex]
[tex]e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-2)!}x^n=e^x+\frac{1}{x^2}\sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}{(n-2)!}=e^x+\frac{1}{x^2}e^x[/tex]
Mer korrekt: Jeg *burde* ment [tex]x^2[/tex]. Men jeg er som matematiker som sjåfør - altfor rask i svingene.Karl_Erik wrote: du mente nok [tex]x^2[/tex] og ikke [tex]\frac 1 {x^2}[/tex]
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)