Uendelig sum.

[Betelgeuse]

Hei jeg har en litt kranglete sum her som skal bli til [tex]e^x[/tex].
Summen er

[tex]\sum_0^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \sum_0^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex].

Dette skal altså blir til [tex]e^x = \sum_0^\infty \frac{x^n}{n!}[/tex]. Ser lett at det stemmer ved å skrive ut summene, men er det mulig å ende opp med samme summeutrykk ved å manipulere summene over s.a man ender opp med
[tex]\sum_0^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \sum_0^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_0^\infty \frac{x^n}{n!} [/tex].
Jeg prøvde, men fikk ikke til. Fakultetene ødelegger.

[FredrikM]

Det er smått åpenlyst at [tex]\sum_0^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \sum_0^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_0^\infty \frac{x^n}{n!}[/tex]

når du tenker på at den ene summen går over alle odde n og den andre over alle like n.

[Betelgeuse]

Jepp. Og jeg nevnte at jeg så det måtte være sånn. Men jeg lurte på om det gikk ann å komme dit ved å manipulere summeformlene.

[FredrikM]

Ikke på noen veldig åpenlys måte jeg kommer på nå. Men er det egentlig noe poeng i (rent bortsett fra å øve seg med bokstavregning)? Likheten er helt åpenlys med forklaringen i min forrige post. Du trenger ikke vise den noe mer nøye enn det. (med mindre du blir *bedt* om å vise det algebraisk, da)

[drgz]

Når wolfram ikke viser noe mellomregning på overgangen tror jeg du kan gi opp :p

Code: Select all

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+x^%282n%29%2F%28%282n%29!%29+%2B+x^%282n%2B1%29%2F%28%282n%2B1%29!%29+from+n+%3D+0+to+infty

[Betelgeuse]

Hehe, allright da legger jeg den på hylla. FredrikM, det var egentlig et ønske om å bli bedre med manipulasjon av summetegn og fakultet
Du har rett i at likheten er åpenlys.

[Andreas345]

Du kan jo prøve å forenkle denne rekken:

[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \ \frac{n^2-n+1}{n!}\cdot x^n[/tex]

Er en oppgave vi fikk på obligen vår

[FredrikM]

Du kan jo prøve å forenkle denne rekken:

[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \ \frac{n^2-n+1}{n!}\cdot x^n[/tex]

Er en oppgave vi fikk på obligen vår

Kunne ikke dy meg (god øvelse, forresten). Lar det være litt rom her, slik at andre kan prøve uten å få løsningen med én gang:
*

*

*

*

*

*
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n+1}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{n^2-n}{n!} x^n[/tex]
[tex]e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-2)!}x^n=e^x+\frac{1}{x^2}\sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}{(n-2)!}=e^x+\frac{1}{x^2}e^x[/tex]

[drgz]

[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n+1}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{n^2-n}{n!} x^n[/tex]
[tex]e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-2)!}x^n=e^x+\frac{1}{x^2}\sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}{(n-2)!}=e^x+\frac{1}{x^2}e^x[/tex]

Jeg får det til å bli [tex]e^x\left(1+x^2)[/tex].


Ved [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{(n-2)!}[/tex] setter jeg [tex]m = n-2 \Leftrightarrow n = m+2[/tex], som gir

[tex]\sum_{m=-2}^{\infty}\frac{x^{m+2}}{m!} = x^2\sum_{m=-2}^{\infty}\frac{x^m}{m!}[/tex]

Mahtworld sier at [tex] n! = \tilde{\infty}, \quad n < 0[/tex], slik at for [tex]m = -1, m = -2[/tex] vil leddene være lik null, og en ender da opp med uttrykket jeg skrev over.

Så får noen andre si i fra om det er noe feil i utregningen

[Karl_Erik]

Du kan jo prøve å forenkle denne rekken:

[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \ \frac{n^2-n+1}{n!}\cdot x^n[/tex]

Er en oppgave vi fikk på obligen vår

Kunne ikke dy meg (god øvelse, forresten). Lar det være litt rom her, slik at andre kan prøve uten å få løsningen med én gang:
*

*

*

*

*

*
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n+1}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-n}{n!}x^n=e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{n^2-n}{n!} x^n[/tex]
[tex]e^x+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-2)!}x^n=e^x+\frac{1}{x^2}\sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}{(n-2)!}=e^x+\frac{1}{x^2}e^x[/tex]

Det er nok som claudeShannon sier en liten feil her - du mente nok [tex]x^2[/tex] og ikke [tex]\frac 1 {x^2}[/tex]. Ellers ser dette riktig ut for meg.

[FredrikM]

du mente nok [tex]x^2[/tex] og ikke [tex]\frac 1 {x^2}[/tex]

Mer korrekt: Jeg *burde* ment [tex]x^2[/tex]. Men jeg er som matematiker som sjåfør - altfor rask i svingene.

[wingeer]

Mer korrekt: Jeg *burde* ment [tex]x^2[/tex]. Men jeg er som matematiker som sjåfør - altfor rask i svingene.

Det er du aldeles ikke alene om.