Integrasjon

[lodve]

Hei!
Jeg har prøvd på alle mulige måter for å integrere

[tex] \int \frac{2}{4x^2+1} [/tex]

Kan noen her gi meg tips til hvordan jeg skal integrere denne her ?

[Nebuchadnezzar]

[tex]\int {\frac{2}{{4{x^2} + 1}}dx = } 2\int {\frac{1}{{4{x^2} + 1}}dx = } 2\int {\frac{1}{{4\left( {{x^2} + \frac{1}{4}} \right)}}dx = } \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{\left( {{x^2} + \(\frac{1}{2}\)^2} \right)}}dx} [/tex]

Tror dette burde hjelpe

[lodve]

Hvordan integrerer jeg det aller siste leddet?
Det blir ikke lik arctan? for da må det jo stå i telleren x^2+1.

[Nebuchadnezzar]

Har du ikke lært å ta integraler på formen

[tex]\int\,\frac{1}{x^2+a^2} [/tex]

?

[Integralen]

[tex]\int \frac{2}{4 x^2+1} dx = tan^{-1}(2 x) \:[/tex]+ konstant.

[claudius]

[tex] \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\frac{x^2}{a^2} + 1} \, \mathrm{d}x [/tex]

med [tex]u = \frac{x}{a},\;dx = adu[/tex]:

[tex] \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\frac{x^2}{a^2} + 1} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\int \frac{1}{u^2 + 1} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{a}tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C [/tex]

[gabel]

[tex] \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\frac{x^2}{a^2} + 1} \, \mathrm{d}x [/tex]

med [tex]u = \frac{x}{a},\;dx = adu[/tex]:

[tex] \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\frac{x^2}{a^2} + 1} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\int \frac{1}{u^2 + 1} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{a}tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C [/tex]

Hvordan kommer du fra

[tex]\frac{1}{a}\int \frac{1}{u^2 + 1} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{a}tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C[/tex]

?

[Janhaa]

[tex] \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\frac{x^2}{a^2} + 1} \, \mathrm{d}x [/tex]
med [tex]u = \frac{x}{a},\;dx = adu[/tex]:
[tex] \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\frac{x^2}{a^2} + 1} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\int \frac{1}{u^2 + 1} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{a}tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C [/tex]

Hvordan kommer du fra
[tex]\frac{1}{a}\int \frac{1}{u^2 + 1} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{a}tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C[/tex]
?

[tex]\left(\arctan(\frac{x}{a}) + C\right)^, =\frac{1}{1+(x/a)^2}\cdot (1/a)[/tex]