Finn størst areal av rektangel

[Integralen]

Oppgave14.
Hva er det største arealet til et rektangel som kan innskrives i en sirkel med radius r (se figuren) ?

[gabel]

[tex]2r^2[/tex]?

[Nebuchadnezzar]

Riktig det gabel, alltid lurt å tegne tegning på geometrioppgaver.



Og da burde denne gå rimelig fort å løse.

om en utfordring klarer du å gjøre det samme for en innskrevet kjegle i en sfære, eller en innskrevet kube om en kjegle blir for komplisert ^^

[Integralen]

Hvordan kommer man frem til 2r^2 som svar?

[Nebuchadnezzar]

Se på tegningen min, klarer du å se 4 trekanter der, hvor sidelengdene er r og r? Hva skjer om man legger sammen arealet av disse 4 trekantene?

[Audunss]

Svaret er riktig, men du har ingen framgangsmåte eller liknende for å vise at det er det faktisk største arealet, siden det er under høyskole og universitet regner jeg med at en del av oppgaven er å optimere et slikt areal.

Edit: tenkte feil, har ikke noe nyttig å si

[Integralen]

Å ja, seff.
[tex]A=\frac{1}{2}abSin(v)[/tex]
Der a og b er hvilke som helst to sider i trekant og Sin(V) er vinkelen mellom dem.

Får da:
[tex]4(\frac{1}{2}r^2Sin(\frac{\pi}{2}))=2r^2[/tex]

Takk for hjelpen!

[Fibonacci92]

En grei huskeregel er at et kvadrat alltid gir størst areal.
En måte å illustrere dette på er

5^2 = 25

(5+1)*(5-1) = 24

Ved å studere konjugatsetningen ser du at

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 < a^2

som i alle fall har litt å gjøre med det du spør om:)

[FredrikM]

Se på tegningen min, klarer du å se 4 trekanter der, hvor sidelengdene er r og r? Hva skjer om man legger sammen arealet av disse 4 trekantene?

Hvorfor antar du at rektangelet må være et kvadrat?

[Gustav]

En grei huskeregel er at et kvadrat alltid gir størst areal.
En måte å illustrere dette på er

5^2 = 25

(5+1)*(5-1) = 24

Ved å studere konjugatsetningen ser du at

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 < a^2

som i alle fall har litt å gjøre med det du spør om:)

Det er ingenting her som tilsier at summen av sidelengdene skal være konstant.

De facto er den ene siden i et generelt rektangel innskrevet i en sirkel med radius r, [tex]x[/tex] mens den andre er [tex]2\sqrt{r^2-\frac14 x^2}[/tex].

Så problemet blir å finne maksimum til funksjonen [tex]f(x)=2x\sqrt{r^2-\frac14 x^2}[/tex] der [tex]0\leq x\leq 2r[/tex]

[Fibonacci92]

Ja beklager... der tenkte jeg helt feil.

[Bentebent]

Hvorfor ikke bare det som Gabel gjorde?

r*r
---- *4 = 2r^2
2

Det virket i hvert fall mye enklere!

[Vektormannen]

Det er riktig svar, men man må også vise at dette faktisk er det største arealet man kan oppnå.