Finn størst trapesareal i sirkel

[Integralen]

Oppgave 15.
På figuren ser du en sirkel med radius r. Et trapes er tegnet inn i sirkelen slik at grunnlinjen til trapeset er en diameter i sirkelen . De to andre hjørnene til trapeset ligger på sirkelomkretsen.

Finn det største arealet et slikt trapes kan ha.



Tenkte slik:

Areal til en trapes er gitt ved [tex]\: \frac{1}{2}(a+b)h[/tex].

Der a og b er de to grunnlinjene i trekanten markert i denne figuren:


Da får jeg skrevet [tex]\: A(h)=\frac{1}{2}(a+b)h=\frac{1}{2}(2r+b)h[/tex]

Videre tenkte jeg å derivere A(h) for å finne maksimumsverdi som jeg tenkte å sette i A(h).Men dette viste seg å ende opp i rot.

Så hvordan skal man løse denne oppgaven?

[Nebuchadnezzar]

Du har tenkt riktig, men det er et par ting du mangler før du kan bruke formelen. Du mangler høyden og du mangler bredden(toppen av trappeset)

Legger ved en tegning som kanskje hjelper deg. Denne oppgaven kan løses på akkuratt samme måte som den forrige oppgaven jeg hjalp deg med.

[Integralen]

Du mener vel at k=r-L (?)

[Nebuchadnezzar]

ja

[Integralen]

Ok, det jeg får er som følger:

Areal trapes gitt ved:
[tex]A=\frac{1}{2}(a+b)h[/tex]

Dermed:
[tex]A(x)=\frac{1}{2}(4r-2k)tan(x)L[/tex]

Jeg antok at [tex]\: \frac{1}{2}(4r-2k)L \:[/tex] for å være konstantene.

Og da fikk jeg den deriverte til å bli:

[tex]A^\prime(x)=\frac{L(4r-2k)}{2cos^2(x)}[/tex]

Herfra fant jeg x=pi/2 og x=3pi/2, begge disse prøvde jeg å sette i tan(x) for x men det var selfølgelig ikke definert for disse verdiene.

Hvordan løser man denne step by step?

[Nebuchadnezzar]

Bruk at

[tex]h = sin x \cdot r[/tex] og at [tex]L=cos x \cdot r[/tex]

Dette gir at [tex]b = 2r - 2 cos x r[/tex]

Så da er det bare sette inn i formelen, derivere å få svaret. Så da får du en vinkel, og denne vinkelen maksimerer arealet av trappeset. Så putter du denne vinkelen inn i trappesformelen din, for å få størst mulig areal uttrykkt ved x.

[Integralen]

Ja, så fant man størst areal til å bli [tex]\: \frac{3\sqrt{3}r^2}{4}[/tex]