Hva gjør jeg galt?

[Marteens]

Oppgaven virket for meg ganske enkel.

[tex]\lim_{x\to+\infty}(\frac{x}{x-3})^{(-2x)}[/tex]

Jeg gjorde som følger:

[tex]\lim_{x\to+\infty}((\frac{x}{x-3})^{(-2)})^{x} =[/tex]

[tex]\lim_{x\to+\infty}((\frac{x-3}{x})^{2})^{x} =[/tex]

[tex]\lim_{x\to+\infty}(\frac{x^2-6x+9}{x^2})^{x} =[/tex]

Dette kan man jo teke som [tex]\lim_{(x\to+\infty)} a^x[/tex]

Og her er det vel riktg å si at
[tex] x=0 [/tex] for [tex] |a|<1[/tex]
[tex] x=1 [/tex] for [tex] |a|=1[/tex]
[tex] x=\infty [/tex] for [tex] |a|>1[/tex]

Så derfor gjorde jeg

[tex]\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-6x+9}{x^2} \times \frac{1/x^2}{1/x^2}=[/tex]


[tex]\lim_{x\to+\infty}\frac{1-(6/x)+(9/x^2)}{1} =[/tex]

[tex]\lim_{x\to+\infty}\frac{1-o(l)}{1} = 1[/tex]

og demed
[tex]\lim_{(x\to+\infty)} 1^{+\infty} =1[/tex]

Dette er altså feil. svaret skulle ha vært i følge fasiten: [tex]e^{-6}[/tex]

Hvordan kommer jeg dit, og hva har jeg gjort galt?

[Janhaa]

Oppgaven virket for meg ganske enkel.
[tex]\lim_{x\to+\infty}(\frac{x}{x-3})^{(-2x)}[/tex]
Jeg gjorde som følger:
[tex]\lim_{x\to+\infty}((\frac{x}{x-3})^{(-2)})^{x} =[/tex]
[tex]\lim_{x\to+\infty}((\frac{x-3}{x})^{2})^{x} =[/tex]
[tex]\lim_{x\to+\infty}(\frac{x^2-6x+9}{x^2})^{x} =[/tex]
Dette er altså feil. svaret skulle ha vært i følge fasiten: [tex]e^{-6}[/tex]
Hvordan kommer jeg dit, og hva har jeg gjort galt?

[tex]\lim_{x\to+\infty}(\frac{x^2-6x+9}{x^2})^{x}=\lim_{x\to\infty}(1-{6\over x}+{9\over x^2})^x=e^{-6}[/tex]

[Marteens]

Kan du forklare hva du gjorde fra trinn 2 til trinn 3?

[Janhaa]

Oppgaven virket for meg ganske enkel.
[tex]\lim_{x\to+\infty}(\frac{x}{x-3})^{(-2x)}[/tex]
Jeg gjorde som følger:
[tex]\lim_{x\to+\infty}((\frac{x}{x-3})^{(-2)})^{x} =[/tex]
[tex]\lim_{x\to+\infty}((\frac{x-3}{x})^{2})^{x} =[/tex]
[tex]\lim_{x\to+\infty}(\frac{x^2-6x+9}{x^2})^{x} =[/tex]
Dette er altså feil. svaret skulle ha vært i følge fasiten: [tex]e^{-6}[/tex]
Hvordan kommer jeg dit, og hva har jeg gjort galt?

[tex]\lim_{x\to+\infty}(\frac{x^2-6x+9}{x^2})^{x}=\lim_{x\to\infty}(1-{6\over x}+{9\over x^2})^x=e^{-6}[/tex]

e er jo def slik:

[tex]\lim_{x\to\infty}(1+{1\over x})^x=e[/tex]

det siste leddet går jo mot null:
[tex]\lim_{x\to\infty}({9\over x^2})^x=0[/tex]

[drgz]

Se hvordan [tex]e^x[/tex] er definert her: http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathe ... onstant%29

**sent ute ser jeg

[Integralen]

Eller bruk at:

[tex]e^{\lim_{x\to\infty}(1-{6\over x}+{9\over x^2})^x}=e^{\lim_{x\to\infty}xln(1-{6\over x}+{9\over x^2})[/tex]

Løs denne [tex]\: \lim_{x \to\infty}xln(1-{6\over x}+{9\over x^2})[/tex].

når du etter å ha satt [tex]\: x=\frac{1}{t}[/tex].
Og bruk at t går mot 0.

Da vil man etterhvert komme frem til en 0/0 uttrykk , bruk da lhop regel og du er i mål.

[Marteens]

Takk, nå ble det straks litt klarere. =)