Grenseverdier

[thefly]

Hei.

Har et enkelt spørsmål...

Jeg skal finne grenseverdien til følgende funksjon:

[tex]l\mbox{im}_{x->\infty }=\frac{\left| x \right|}{x}[/tex]

Jeg har rett og slett glemt hva "klammene" betyr regnemessig...

Når det står [tex]\left| x \right|[/tex] hva innebærer det?

Takk for svar

[Vektormannen]

Det betyr absoluttverdi. Absoluttverdien av et tall er den positive tallverdien av tallet. Du har f.eks. at |-3| = 3 og |3| = 3. Generelt er |x| = -x når x < 0 og |x| = x når [tex]x \geq 0[/tex].

[thefly]

Tusen takk!

Jeg skyter inn ett spørsmål til!

Jeg har følgende funksjon hvor x går mot minus uendelig:

[tex]l\mbox{im}_{x->-\infty }=\frac{x^{3}+5}{10x^{2}+2x}[/tex]

Jeg deler på [tex]x^{3}[/tex] (som blir beskrevet som et "triks" i læreboka.)

Da står jeg igjen med :

[tex]\frac{1+\frac{5}{x^{3}}}{\frac{10}{x}+\frac{2}{x^{2}}}[/tex]

Fremgangsmåten videre er jeg usikker på ... Kan noen gi meg et hint ?

[Vektormannen]

Du vil stå igjen med [tex]\frac{10}{x} + \frac{2}{x^2}[/tex] i nevneren. Hva skjer med hvert av leddene i teller og nevner når [tex]x \to -\infty[/tex]?

[thefly]

Funksjonen vil da gå mot minus uendelig...

Er det noen enkel måte å vise dette matematisk, eller må man tenke seg til dette?

[Vektormannen]

Du vet at telleren er positiv, så du må bare forklare at nevneren går mot noe negativt. Det kan du argumentere for ved å si at 10/x er negativ når x går mot minus uendelig, mens [tex]2/x^2[/tex] er positiv, og vil være mye mindre enn 10/x i tallverdi, slik at summen blir negativ.

En annen måte å angripe oppgaven på er å benytte polynomdivisjon. Da kan du vise det mer 'matematisk'.

[thefly]

Så er dagens spørsmål her:

[tex]l\mbox{im}_{x->0}x^{^{-1}}[/tex]

Jeg forstår rett og slett ikke hvordan man skal si noe om funksjonen... Når den ER 0 blir det jo funksjonen 0^-1 som ikke er "gyldig". Men kan jeg bare sette inn 0 i funksjonen over?

[Vektormannen]

Nei, det kan du ikke, fordi, som du sier, funksjonen ikke er definert for 0.

Men hva skjer når x er veldig nær 0? (Husk å skille mellom nær 0 fra negativ side og fra positiv side.)

[thefly]

Da vil funksjonen gå mot [symbol:plussminus] [symbol:uendelig]... Men i fasiten står det "grensen eksisterer ikke" som forsåvidt er greit. Problemet er at jeg ikke forstår om oppgaven er ute etter x = 0 eller når den er nær 0 (enten om den er positiv eller negativ).

Oppgaven sier: "Hva kan du si om (og deretter funksjonen med påfølgende grenseverdi)"

[Vektormannen]

Det stemmer. Grensen eksisterer altså ikke, og det du evt. kan si om funksjonen er at den ikke er definert i 0, og at den vokser mot +/- uendelig når x nærmer seg 0 fra henholdsvis høyre og venstre side.

Det er ikke snakk om selve punktet x = 0, nettopp av den grunnen at funksjonen ikke fins i det punktet. En grenseverdi er det en funksjon nærmer seg når x nærmer seg en verdi.