log(-1) + log(-3) = ?

[Eksplisitt]

Da får det vente noen år.

Igjen, mange takk for hjelpen.

[Eksplisitt]

Lar det seg gjøre å skrive en fordypningsoppgave på 50+ sider relatert til dette på VG3-nivå? Eventuelt noen som har noen ideer?

[FredrikM]

50+ sider om kun logaritmen hørtes mye ut.

En idé kan være å skrive om komplekse funksjoner generelt.

Vise Cauchy-Riemann-ligningene og gjøre noen serieutvidelser.

[Bentebent]

Dette hørtes alt for vanskelig ut til å være VG3-materiale!! Hva slags skole går du på a'?!? :O

[krje1980]

Når man jobber med komplekse logaritmer er det viktig å skille mellom log z og "principal value" av log z, som skrives Log z (altså med stor L).

I ditt tilfelle, hvor vi IKKE jobber med "principal value", kan vi følge formelen:

log(z[sub]1[/sub]z[sub]2[/sub]) = log(z[sub]1[/sub]) + log(z[sub]2[/sub])

Vi må imidlertid velge en passende verdi for variablen n, som er heltallet brukt til å legge til en revolusjon til den komplekse logaritmen uttrykkt som en polarkurve i det komplekse planet. I en "principal value" løsning er n automatisk lik 0.

I ditt tilfelle har vi:

log(-1) ) = ln(1) +i( [symbol:pi] + 2n [symbol:pi] ) = (1 + 2n)[symbol:pi]i

log(-3) = ln(3) + i( [symbol:pi] + 2n [symbol:pi] ) = ln(3) + (1 + 2n)[symbol:pi]i

(hvor n = 0, [symbol:plussminus] 1, [symbol:plussminus] 2, . . .)

Setter vi n = -1 for log(-1) og n = 0 for log(-3) får vi at

log(-1) + log(-3) = ln(3)

Dersom vi så går direkte på log((-1)*(-3)) = log(3) får vi:


log(3) = ln(3) + i(0 +2n [symbol:pi] ) = ln(3) + 2n [symbol:pi]i

Setter vi n = 0 får vi at

log(3) = ln(3)

Dermed har vi fått de to uttrykkene til å bli ekvivalente.

Merk at dersom vi kun hadde begrenset oss til "principal value" (hvor n = 0) ville formelen ikke være gyldig.

[Eksplisitt]

50+ sider om kun logaritmen hørtes mye ut.

Ja, det tenkte jeg óg. Derfor skrev jeg «relatert til dette».

Takk for svar begge to. Jeg får vurdere hva jeg skal gjøre. Flere innspill mottas med takknemlighet.