Da får det vente noen år.
Igjen, mange takk for hjelpen.
log(-1) + log(-3) = ?
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Cayley
- Innlegg: 90
- Registrert: 22/03-2008 15:50
Lar det seg gjøre å skrive en fordypningsoppgave på 50+ sider relatert til dette på VG3-nivå? Eventuelt noen som har noen ideer?
50+ sider om kun logaritmen hørtes mye ut.
En idé kan være å skrive om komplekse funksjoner generelt.
Vise Cauchy-Riemann-ligningene og gjøre noen serieutvidelser.
En idé kan være å skrive om komplekse funksjoner generelt.
Vise Cauchy-Riemann-ligningene og gjøre noen serieutvidelser.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Når man jobber med komplekse logaritmer er det viktig å skille mellom log z og "principal value" av log z, som skrives Log z (altså med stor L).
I ditt tilfelle, hvor vi IKKE jobber med "principal value", kan vi følge formelen:
log(z[sub]1[/sub]z[sub]2[/sub]) = log(z[sub]1[/sub]) + log(z[sub]2[/sub])
Vi må imidlertid velge en passende verdi for variablen n, som er heltallet brukt til å legge til en revolusjon til den komplekse logaritmen uttrykkt som en polarkurve i det komplekse planet. I en "principal value" løsning er n automatisk lik 0.
I ditt tilfelle har vi:
log(-1) ) = ln(1) +i( [symbol:pi] + 2n [symbol:pi] ) = (1 + 2n)[symbol:pi]i
log(-3) = ln(3) + i( [symbol:pi] + 2n [symbol:pi] ) = ln(3) + (1 + 2n)[symbol:pi]i
(hvor n = 0, [symbol:plussminus] 1, [symbol:plussminus] 2, . . .)
Setter vi n = -1 for log(-1) og n = 0 for log(-3) får vi at
log(-1) + log(-3) = ln(3)
Dersom vi så går direkte på log((-1)*(-3)) = log(3) får vi:
log(3) = ln(3) + i(0 +2n [symbol:pi] ) = ln(3) + 2n [symbol:pi]i
Setter vi n = 0 får vi at
log(3) = ln(3)
Dermed har vi fått de to uttrykkene til å bli ekvivalente.
Merk at dersom vi kun hadde begrenset oss til "principal value" (hvor n = 0) ville formelen ikke være gyldig.
I ditt tilfelle, hvor vi IKKE jobber med "principal value", kan vi følge formelen:
log(z[sub]1[/sub]z[sub]2[/sub]) = log(z[sub]1[/sub]) + log(z[sub]2[/sub])
Vi må imidlertid velge en passende verdi for variablen n, som er heltallet brukt til å legge til en revolusjon til den komplekse logaritmen uttrykkt som en polarkurve i det komplekse planet. I en "principal value" løsning er n automatisk lik 0.
I ditt tilfelle har vi:
log(-1) ) = ln(1) +i( [symbol:pi] + 2n [symbol:pi] ) = (1 + 2n)[symbol:pi]i
log(-3) = ln(3) + i( [symbol:pi] + 2n [symbol:pi] ) = ln(3) + (1 + 2n)[symbol:pi]i
(hvor n = 0, [symbol:plussminus] 1, [symbol:plussminus] 2, . . .)
Setter vi n = -1 for log(-1) og n = 0 for log(-3) får vi at
log(-1) + log(-3) = ln(3)
Dersom vi så går direkte på log((-1)*(-3)) = log(3) får vi:
log(3) = ln(3) + i(0 +2n [symbol:pi] ) = ln(3) + 2n [symbol:pi]i
Setter vi n = 0 får vi at
log(3) = ln(3)
Dermed har vi fått de to uttrykkene til å bli ekvivalente.
Merk at dersom vi kun hadde begrenset oss til "principal value" (hvor n = 0) ville formelen ikke være gyldig.
-
- Cayley
- Innlegg: 90
- Registrert: 22/03-2008 15:50
Ja, det tenkte jeg óg. Derfor skrev jeg «relatert til dette».FredrikM skrev:50+ sider om kun logaritmen hørtes mye ut.
Takk for svar begge to. Jeg får vurdere hva jeg skal gjøre. Flere innspill mottas med takknemlighet.