Uniform kontinuitet

[Baz]

Jobber med uniform kontinuitet og sliter litt med det. Hvordan avgjør man om en funksjon er uniformt kontinuerlig?

F.eks med funksjonene

f(x) = lnx på (0,1)

og

f (x) = e^x

Kan noen forklare meg litt om hva dette går ut på og hvordan man går frem?
Da hadde jeg blitt velig glad

[FredrikM]

Uniform kontinuitet skiller seg fra "vanlig" kontinuitet i det at du kan velge én [tex]\delta[/tex] som funker over hele intervallet.

I vanlig kontinuitet skal du, gitt en [tex]\epsilon > 0[/tex], for hver [tex]x[/tex] i intervallet finne en [tex]\delta(x)[/tex] (som avhenger av [tex]x[/tex]) slik at forskjellen [tex]|f(x)-f(y)| < \epsilon[/tex] når [tex]|x-y| < \delta[/tex].

Se f.eks på funksjonen [tex]f:(0,1)\to \mathbb{R}[/tex] definert ved [tex]f(x)=\frac{1}{x}[/tex]. Den er, som kjent er, kontinuerlig, men jo nærmere du kommer [tex]0[/tex], jo mindre [tex]\delta[/tex] må du velge for at [tex]|f(x)-f(y)|[/tex] skal bli liten nok. Så denne funksjonen er ikke uniformt kontinuerlig.

(for at funksjonen skal være uniformt kontinuerlig, må du finne en [tex]\delta[/tex] som funker uavhengig av hvor i intervallet din [tex]x[/tex] er).

Hvis vi titter på funksjonene dine: Se på [tex]f(x)=\ln x[/tex]. Hva skjer med funksjonen når [tex]x \to 0[/tex]?

Hva med den andre funksjonen? Den oppfører seg rimelig pent på intervallet [tex](0,1)[/tex]. Den er begrenset på intervallet, f.eks. Vi har et kjent teorem som sier at enhver begrenset funksjonen på et lukket intervall er uniformt kontinuerlig. Dette intervallet er ikke lukket, men vi kan enkelt utvide domenet, og da gjelder teoremet. Dvs, utvider vi domenet, finnes en [tex]\delta[/tex] slik at [tex]|e^x-e^y|<\epsilon[/tex] for alle [tex]|x-y|< \delta[/tex] i [tex][0,1][/tex]. Men den samme [tex]\delta[/tex] vil (selvsagt) gjelde også på [tex](0,1)[/tex].


(til slutt: hvorfor kan vi ikke gjøre det samme med de to eksemplene dine?)

[diracfan1]

Fredrik, jeg må bare berømme din måte å forklare ting på Har tatt et kurs i analyse selv, men tror nok ikke jeg hadde klart å formulere meg på en like god måte som det du gjør her.

[Baz]

Når x --> 0 i f (x) = lnx går funksjonen mot minus uendelig. Må derfor, som med funksjonen 1/x, velge mindre delta di nærmere man kommer 0 for at |f(x)-f(y)| skal bli liten nok.

Dvs. at funksjonen ikke er uniformt kontinuerlig fordi man ikke kan bruke samme delta på hele intervallet?

Glemte å skrive at intevallet til e^x er (0,unendelig). Men det vil vel bli det samme?

Hvorfor vi ikke kan gjøre det samme? Fordi den første er definert i alle punkter i intervallet, mens den andre ikke er det?

Tusen takk for god forklaring. Har hjulpet meg mye!!

[FredrikM]

Dvs. at funksjonen ikke er uniformt kontinuerlig fordi man ikke kan bruke samme delta på hele intervallet?

Ja, riktig. Definisjonen av uniform kontinuitet krever at du skal finne en [tex]\delta[/tex] som virker på hele definisjonsområdet.

Glemte å skrive at intevallet til [tex]e^x[/tex] er [tex](0,\infty)[/tex]. Men det vil vel bli det samme?

Da blir det noe ganske annet. [tex]e^x[/tex] vokser raskere og raskere når [tex]x[/tex] blir større, så ved samme argument som for [tex]\ln(x):(0,1)\to \mathbb{R}[/tex] er ikke denne uniformt kontinuerlig. For å bevise dette rent formelt, må du antakelig anta det motsatte, og vise at dette fører til en selvmotsigelse.

Hvorfor vi ikke kan gjøre det samme? Fordi den første er definert i alle punkter i intervallet, mens den andre ikke er det?

Ja, riktig.

Jeg kan bevise formelt at [tex]e^x:(0,\infty)\to\mathbb{R}[/tex] ikke er uniformt kontinuerlig. Så anta det motsatte: (anta gitt [tex]\epsilon > 0[/tex]) dvs. anta at det finnes en [tex]\delta[/tex] slik at [tex]|e^x-e^y| < \epsilon[/tex] for alle [tex]x,y \in \mathbb{R}[/tex] når [tex]|x-y| < \delta[/tex]. Ved kontinuitet må vi da ha [tex]|e^x-e^y|\leq \epsilon[/tex] for alle [tex]x,y\in \mathbb{R}[/tex] når [tex]|x-y| \leq \delta[/tex]. Og spesielt må vi ha [tex]|e^x||1-e^\delta|=|e^x-e^{x+\delta}| \leq \epsilon[/tex] for alle [tex]x,y[/tex]. Men lar vi [tex]x \to \infty[/tex] går ting galt.

(legg merke til at om vi velger [tex]\delta[/tex] veldig liten, vil [tex]|1-e^\delta|[/tex] være veldig nær [tex]0[/tex], men aldri "nær nok" fordi [tex]e^x[/tex] vokser hele tiden.