Nullpunkt og konvergens

[Putekrig]

Hei, sliter med en oppgave her.

La [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
a)
Vis at funksjonen [tex]f_n (x) = x^5 + nx - 1[/tex] har nøyaktig ett (reellt) nullpunkt og at dette ligger i intervallet [tex]\left( \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right)[/tex].

Hvordan i all verden gjør man dette? Jeg er helt blank.

Jeg drister meg forresten til å stille oppfølgerspørsmålet i samme slengen, siden jeg neppe blir klokere etter å eventuelt ha fått til denne a-oppgaven... Så:

b)
Kall nullpunktet [tex]a_n[/tex]. Bestem om rekken
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n[/tex]
konvergerer absolutt. Konvergerer rekken betinget?

c)
For hvilke [tex]x[/tex] konvergerer potensrekken
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{n}[/tex]

Håper noen av dere kloke hoder tar dere tid til å hjelpe meg. Står virkelig fast.

På forhånd tusen takk!

[Vektormannen]

a) Funksjonen er kontinuerlig, så hvis den kan bli både positiv og negativ, da vet du i alle fall at den må ha nullpunkter. Du kan sikkert finne x-verdier som gir begge deler, og da har du vist at den har i alle fall ett nullpunkt. For å vise at det er det eneste, kan du se på den deriverte. Hva kan du si om denne? For å vise at nullpunktet ligger i det oppgitte intervallet setter du inn endepunktene i funksjonen. Hvilke verdier får du da?

b) Ang. absolutt konvergens: Du vet at [tex]a_n > \frac{1}{n+1}[/tex]. Kan du si noe om rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}[/tex]?

For at en alternerende rekke skal være betinget konvergent så har du to ting som skal være oppfylt: Leddene skal være avtagende i absoluttverdi (i alle fall hvis du går langt nok ut i rekken), dvs. [tex]|a_{n+1}| < |a_n|[/tex] og leddene skal grense mot 0 når n går mot uendelig.

c) Konvergensradius for en potensrekke finner du ved å beregne grenseverdien [tex]L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/tex]. Da er konvergensradien gitt ved R=1/L. Her vet du ikke hva [tex]a_n[/tex] er. Men du vet at [tex]\frac{1}{n+1} < a_n < \frac{1}{n}[/tex]. Hva kan du si om [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}[/tex] og [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+1}}[/tex]?

[Baz]

Kan noen hjelpe litt videre med c?

Grenseverdiene til de to uttrykkene er 1..

Men hva gjør jeg med dette??

[Vektormannen]

Hvis grenseverdiene av de uttrykkene er 1, og du vet at [tex]a_n[/tex] ligger mellom dem, hva vil da [tex]a_n[/tex] gå mot?

[FredrikM]

Vektormannen:

Kan du forklare hvorfor [tex]a_n[/tex] må ligge mellom de to verdiene. Jeg klarer ikke å se det.

[Vektormannen]

Hmm, det kan være jeg har tenkt helt feil da, men [tex]a_n[/tex] er nullpunktene til funksjonen [tex]f_n[/tex], som i a) blir vist at ligger i intervallet [tex]\left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)[/tex].

[FredrikM]

Ah derja.

Da bør det stemme. (leste bare ikke førsteposten nøye nok)

[Robert87]

b) Ang. absolutt konvergens: Du vet at [tex]a_n > \frac{1}{n+1}[/tex]. Kan du si noe om rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}[/tex]?

Kan noen si meg hva dette hjelper oss og hvordan det hjelper oss videre?

[Vektormannen]

Rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}[/tex] divergerer. Hvis hvert ledd i rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] er større enn hvert ledd i den rekken, hva kan du da konkludere med?