Femkant ABCDE

[Vektormannen]

Bra

Så dette er en ny oppgave, eller er det samme funksjonen F?
Men nei, du kan ikke sette inn først. Det du får når du setter inn i funksjonen er jo et tall. Den deriverte av et tall er 0.

[Yoshiku]

Samme oppgave, ja.

Blir det f`(x)= 5x-66? Og hva gjør jeg etter jeg har derivert?

[Vektormannen]

Antar du mener 6x, ikke 5x. I såfall er det riktig ja.

Det oppgaven ber deg om å gjøre er å finne f'(5). Hva pleier du å gjøre når du skal finne en funksjonsverdi i et punkt? Husk at f'(5) blir akkurat det samme som å regne ut f.eks. f(5), bare at nå er det f', og ikke f, som er funksjonen du skal regne ut verdien av.

[Yoshiku]

Setter inn 5 for x? Og da blir det -36. Så når jeg bare skal finne f(x) setter jeg inn for x, men når jeg skal derivere må jeg derivere først før jeg setter inn for x?

[Vektormannen]

Det stemmer

Generelt, når det står f.eks. f(5) eller g(5) betyr dette å evaluere funksjonene med 5 som argument. Det vil si, å sette inn 5 for variabelen i funksjonsuttrykket. Når det står f'(5) så betyr dette akkurat det samme. Det betyr at vi skal evaluere funksjonen som heter f' med 5 som argument. Men da må vi først ha et uttrykk for denne funksjonen, og det er dette vi finner ved å derivere f. Husk at den deriverte er en ny, helt vanlig, funksjon i seg selv.

[Yoshiku]

(Samme funksjon)
Løs ulikheten f(x)<2000.

[Vektormannen]

Har du noen tanker selv om hvordan du kan gjøre dette?

[Yoshiku]

Trodde kanskje det var 3x^2-66x+2164<2000

x-ene på den ene siden og tallene på den andre, akkurat som en likning, men det blei jo helt feil.

[Vektormannen]

Det er ikke noe galt i det du har tenkt så langt. Det blir mye enklere å løse ulikheten dersom du skriver den om (ved å flytte over 2000) til:

[tex]3x^2 - 66x + 164 < 0[/tex].

Dette er enklere, for nå spør vi etter når uttrykket [tex]3x^2 - 66x + 164[/tex] er negativt. Altså, hvilke x-er vi kan sette inn i dette uttrykket for å få ut noe negativt. Dette er et problem som kan løses ved å sette opp et såkalt fortegnsskjema. Husker du hvordan du gjør det?

[Yoshiku]

Nei, egentlig ikke (ikke ut i fra ulikheten i allefall) ... Men jeg vet at det er sånn positiv og negativ del av linja da...

[Vektormannen]

Denne funksjonen er såpass enkel at man ikke trenger å benytte et fortegnsskjema, men det er absolutt noe du bør kunne likevel.

Uten fortegnsskjema krever det at vi tenker litt over hvor funksjonen er positiv og hvor den er negativ. Er du med på at funksjonen kun kan endre seg fra å bli positiv til å bli negativ i et nullpunkt? Altså, funksjonen er nødt til å krysse y-aksen hvis den skal gå fra å bli positiv til negativ, eller omvendt.

Det betyr at hvis du finner nullpunktene til uttrykket [tex]3x^2 - 66x + 164[/tex], så kan du finne ut om funksjonen er positiv eller negativ foran, mellom og etter nullpunktene ved å rett og slett sette inn og se på hvilket fortegn du får. Du er ute etter det av disse tre områdene der funksjonen er negativ. Kan du finne dette? Du begynner altså med å finne nullpunktene.

[Yoshiku]

Jeg tror jeg skjønner deler av det. Nå har jeg satt inn 0 og 10 og fikk 164 (0) og -196 (10). Hva forteller det?

[Vektormannen]

Det forteller ikke så mye før du har funnet nullpunktene til funksjonen. Først da vil disse verdiene fortelle deg alle x som gir negativ verdi og alle som gir positiv verdi. Det eneste du vet nå er at uttrykket er positivt i 0 og negativt i 10. Men når du løser ulikheten skal du finne alle x som er slik at uttrykket blir negativt. Som sagt, begynn med å finne nullpunktene til funksjonen. Deretter tester du for en x-verdi som er mindre enn det første nullpunktet, deretter for en x-verdi som er mellom de to nullpunktene, og så for en x-verdi som er større enn det andre nullpunktet.