Derivasjon

[ambitiousnoob]

Hei!

Sitter og skal finne den deriverte av:

[tex]f(x)=xlnx[/tex]

Jeg tenkte [tex]f`(x)=1\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x}[/tex]

Men fasit sier: [tex]lnx+1[/tex]

Fant ikke helt ut av forklaringen på den, noen som vil?:)

[espen180]

Har du forsøkt å bruke produktregelen?

[ambitiousnoob]

Ah og vips der var den i orden, takk skal du ha!:)

[ambitiousnoob]

Kanskje du har tid til å se på en til?:)

[tex]g(x)=ln(\sqrt{x+1}+x)[/tex]

Oppgaven går ut på det samme, å finne den deriverte, kanskje det holder med et lite hint her og?:)

[Markonan]

Kjerneregelen flere ganger.

[ambitiousnoob]

Hei!

Det var igrunn det som slo meg at man gjerne måtte gjøre, men så ikke helt hvordan man skulle dele det opp...Man har vel her i teorien [tex]g(x)=ln\sqrt x+ln\sqrt 1+lnx[/tex] blir det riktig?

EDIT: skal være g(x) ja;)

[espen180]

Nei, det blir feil. Du kan ikke dele opp logaritmer med summer. Regelen du tenker på er nok [tex]\ln (ab)=\ln(a)+\ln(b)[/tex]

[MatteNoob]

Kanskje du har tid til å se på en til?:)

[tex]g(x)=ln(\sqrt{x+1}+x)[/tex]

Oppgaven går ut på det samme, å finne den deriverte, kanskje det holder med et lite hint her og?:)

[tex]u = \sqrt{x+1} + x[/tex]

da er

[tex]u\prime = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} + 1[/tex]

så

[tex]g\prime(x) = \frac{1}{sqrt{x+1} + x} \cdot \left[ \frac{1}{2\sqrt{x+1}} + 1\right][/tex]

Prøv

[tex]h(x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)[/tex]

Alternativt:

[tex]i(x) = \ln(\sqrt{x^2+1}+x)^{\sqrt x}[/tex]

[ambitiousnoob]

Takk så mye for hjelpen!:)

Se om disse blir riktig da:

[tex]h(x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)[/tex]

[tex]u=(\sqrt{x^2+1}+x)[/tex]

[tex]u`=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}+1[/tex]

[tex]h`(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\cdot \left[\frac{1}{2\sqrt{x^2}+1}+1\right][/tex]



[tex]i(x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)^{\sqrt{x}}[/tex]

Denne synes jeg var litt verre, jeg gjorde den om til:

[tex]i(x)=\sqrt{x}ln(\sqrt{x^2+1}+x)[/tex]

Så her må man vel bruke produktregelen to ganger, men igjen synes jeg det var litt vanskelig å se hvor man må begynne..

[Vektormannen]

Den deriverte av h(x) er ikke riktig. Du glemmer at også [tex]\sqrt{x^2 + 1}[/tex] er en sammensatt funksjon hvor du igjen må gange med den deriverte av kjernen ([tex]x^2 + 1[/tex]) til denne, som er 2x. Så svaret ditt er nesten riktig; mangler bare en faktor 2x.

Den andre: Produktregelen to ganger? Produktregelen sier at dette blir:

[tex]i^\prime(x) = \sqrt{x}^\prime \cdot \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x) + \sqrt x \cdot (\ln(\sqrt{x^2 + 1} + x))^\prime[/tex].

Nå er det bare å sette inn for de to uttrykkene som skal deriveres. (Husk at den siste faktoren der er det samme som h'(x))

[ambitiousnoob]

Altså skal det se slik ut?:)

[tex]h`(x)=\frac{1}{2x\sqrt{x^2+1}+x}\cdot \left[\frac{1}{2\sqrt{x^2}+1}+1\right][/tex]

Hmm tror jeg gjør det vanskeligere for meg selv enn det egentlig er bare for det står ln foran...Takk for hjelpen!:)

[Vektormannen]

Nei, det blir ikke helt slik. Feilen oppsto når du deriverte u. Den deriverte av u blir [tex]u^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x + 1[/tex]

[ambitiousnoob]

Ah da er det derivasjonen som er litt rusten ja...hadde du hatt mulighet for å vise fremgangsmåten for den derivasjonen, ledd for ledd?

[Vektormannen]

Jeg kan ta derivasjonen av u. Resten ser det ut som du har fått til. Hvis vi skal være skikkelig formelle på det så kaller vi kjernen i u for v. Da har vi [tex]v = x^2 + 1[/tex] som gir [tex]v^\prime = 2x[/tex]. Det gir at [tex]u^\prime = (\sqrt{v} + x)^\prime = \frac{1}{2\sqrt v} \cdot v^\prime + 1 = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x + 1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} +1[/tex].

Med dette blir h'(x) altså [tex]h^\prime(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \cdot \left[\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} + 1\right][/tex].

[ambitiousnoob]

Kjempe, takk skal du ha!:)

Lurte på en sak til, skal derivere

[tex]2^{sinx}[/tex]

og kom fram til

[tex]cosx\cdot ln2\cdot 2^{sinx}[/tex]

mens fasiten sier

[tex]2^{sinx}ln2\cdot cosx[/tex]

Vil det ha noen betydning hvilken rekkefølge man skriver svaret i, er det noe i derivasjonsreglene som sier at det må stå skrevet slik som fasit?