Vanskelig nøtt i binomisk sannsynlighet

[MatteNoob]

Hadde statistikkeksamen i dag, og hadde denne oppgaven. Jeg synes den var vemmelig, og er stygt redd for at jeg failet miserabelt. Hørte at det var mange av de andre hadde problemer med den også.

Selvom jeg ikke vil vite svaret, så klarer jeg simpelten ikke dy meg. Så, med fare for å lage en tråd til i foraet for generell diskusjon, titulert «Post-Eksamen Depresjon II», så spør jeg dere om svaret.

Markedsundersøkelser viser at det i populasjonen av BI-studenter er 60 % som foretrekker pizza foran sushi. En klasse på BI med 25 studenter skal bestemme seg for om de skal ha pizza eller sushi på eksamensfesten. Beslutningen tas med flertallsval: Dersom minst 13 studenter stemmer for pizza, så blir det pizza på eksamensfesten.

Anta at klassen representerer et tilfeldig utvalg fra populasjonen av BI-studenter, og at markedsundersøkelsen er representativ for både gutter og jenter.

a) Hva er sannsynligheten for at en enkelt students stemme er avgjørende (vipper flertallet)? Hva blir resultatet dersom det i populasjonen er 50 % som foretrekker pizza foran sushi?

b) I klassen er det 15 jenter og 10 gutter. Anta at jentene inngår en pakt om å stemme på samme alternativ i den endelige avstemmingen. Om de skal stemme for pizza eller for sushi bestemmer de ved et preliminært flertallsvalg. Hva er sannsynligheten for at en enkelt students stemme er avgjørende?

Mao, en masse, masse tekst, som kort kan oppsummeres slik:

a)
[tex]n=25[/tex]

[tex]flertall = 13[/tex]

[tex]P(pizza) = 0,6[/tex]

[tex]P(sushi) = 0,4[/tex]

Så, endres [tex]P(pizza)=P(sushi)=0,5[/tex]

La X være sannsynligheten for at avstemmingen avgjøres ved vippestemme.

b)
Denne endres så tilbake til [tex]P(pizza) = 0,6[/tex]og [tex]P(sushi) = 0,4[/tex] i deloppgave b. Her konkluderte jeg med at i hovedvalget vil sannsynligheten for at en stemme vil være avgjørende er lik 0, fordi jentene er i flertall, og det faktiske resultatet vil derfor fremkomme her. Siden de ikke spør eksplisitt i hvilke av valgene de ønsker sannsynligheten for "tippestemme", så regnet jeg også ut denne mhp jentenes avstemming.

[tex]n_j = 15[/tex]

[tex]n_g = 10[/tex]

[tex]flertall_2 = 8[/tex]

La Y være sannsynligheten for at avstemmingen til jentene avgjøres ved vippestemme.

Håper jeg ikke failet på denne, men spent på å se deres løsning.

[MatteNoob]

Siden ingen vil, her er måten jeg tenkte:

- Vi antar at alle stemmer og skriver hva de ønsker på en lapp. Deretter teller man opp stemmene.

For at vi skal få vippestemme, må 12/24 (n er totalt 25) stemme på pizza. Da vil den andre halvparten stemme på sushi, så

a)

[tex]P(X) = {{24}\choose{12}} \cdot (0,6)^{12}\cdot(0,4)^{12} \approx 0,0988[/tex]

Gitt at p=0.5

[tex]P(X) = {{24}\choose{12}} \cdot (0,5)^{24} \approx 0,1612[/tex]

b)

[tex]P(X) = 0[/tex]

Fordi resultatet av jentenes preliminære avstemming avgjør resultatet, siden antall jenter > gutter. Lar vi Y være sannsynligheten for vippestemme blant jentenes avstemming, så:

[tex]P(Y) = {{14}\choose{7}} \cdot (0,6)^{7}\cdot(0,4)^{7} \approx 0,1574[/tex]

Så; hva tror dere om dette?

[sirins]

Mitt forslag på første del av a):

For vippestemme må enten 12 stemme på pizza og 13 på sushi, elller 13 på pizza og 12 på sushi.

Bruker X = "Antall som stemmer på pizza". Sannsynligheten for at en vippestemme avgjør blir da:

[tex]P(X=12) + P(X=13)[/tex]

[tex]= {25 \choose 12} \cdot 0,6^{12} \cdot 0,4^{13} + {25 \choose 13} \cdot 0,6^{13} \cdot 0,4^{12} \approx 0,1899[/tex]

Tilsvarende for de andre oppgavene.

[MatteNoob]

Svarte f. du har rett. Søppel.

Hvorfor blir mitt forslag galt?

Jaja, får håpe jeg får litt uttelling for at jeg har sett at det er binomisk, og kanskje også for forsøk på kreativ løsning, hahaha.

[sirins]

Med forbehold om at mitt forslag er galt, hehe.

Resonnementet ditt virker forsåvidt rimelig for meg, bortsett fra én ting:

Du "plukker ut" 1 stemme og behandler den som den aktuelle vippestemmen, og 24 andre som de likt fordelte stemmene. Du tar ikke hensyn til at vippestemmen kan være hvilken som helst av de 25.

Ut ifra den tankegangen burde det være mulig å multiplisere ditt svar med antall kombinasjoner av vippestemme og ordinære stemmer, og få mitt svar.

Mitt svar er forøvrig nøyaktig lik 25/13 ganget med ditt svar.

[MatteNoob]

Ja, du har selvfølgelig rett. Maken til søpleviggo av meg å gjøre det der da.

Den stemmen påvirker jo selvfølgelig hele fordelingen, siden hvem som helst av de andre stemmene kunne vært den aktuelle vippestemmen.

Jeg synes sannsynligheten når det var 50 % var veldig lav, så stusset hardt der, men jeg klarte ikke å tenke ut noe smartere.

18 deloppgaver på hele settet, så 1 deloppgave = 5,56 %. Får jeg riktig på alt annet, noe jeg tror jeg har, så skulle det bli minst 16 som tilsvarer 88,89 %. Kanskje jeg får en drøy trøsteprosent, fordi jeg visste at det var binomisk, og at jeg i det minste analyserte b korrekt frem til selve sannsynligheten. Da skulle jeg ha cirka 90 %, og da kanskje det holder.

Takk for at du tok deg bryet med å ødelegge tiden frem mot sensur, hehehe.

[sirins]

Beklager det altså

90% er jo kjempebra!

[MatteNoob]

Hehe, joda, 90 % er bra det, men den der smakte ufattelig surt.

Du lettet faktisk sinnet mer enn du skadet det, nå vet jeg at det var feil, så da har jeg i alle fall en ting mindre å tenke på, hehe.

Du får ha en riktig god sommer. :]